Question

【題目】雪橇運動在北方很受人們歡迎，其簡化模型如圖所示。傾角θ=37°的直線雪道AB與曲線雪道BCDE在B點平滑連接，其中A、E兩點在同一水平面上，雪道最高點C所對應的圓弧半徑R=10m，B、C兩點距離水平面AE的高度分別為h1=18m、h2=18.1m，雪橇與雪道間的動摩擦因數μ=0.1。游客可坐在電動雪橇上由A點從靜止開始向上運動。若電動雪橇以恒定功率P=1.03kW工作t=10s時間后自動關閉，則雪橇和游客（總質量M=50kg）到達C點時的速度vC=1m/s，到達E點時的速度vE=9m/s。已知雪橇運動過程中不脫離雪道，sin37°=0.6，重力加速度g取10m/s2。

(1)求雪橇在C點時對雪道的壓力；

(2)求雪橇在BC段克服摩擦力做的功；

(3)求雪橇從C點運動到E點過程中損失的機械能；

(4)若僅將DE段改成與曲線雪道CD段平滑連接的傾斜直線軌道（如圖中虛線所示），則雪橇從C點運動到E點過程中損失的機械能將如何變化（增加，減少還是不變）？請簡要說明理由。

Answer 1

【答案】（1）495N（2）25J（3）7050J（4）不變

【解析】試題分析：選雪橇和游客的整體為研究對象，對其運動到C點進行受力分析，運用牛頓第二定律即可求出雪橇在C點時對雪道的壓力；從A到C對雪橇和游客的整體運用動能定理，即可求出雪橇在BC段克服摩擦力做的功；對整體從C到E運用動能定理，求出摩擦力做功，根據功能原理即可求出C點運動到E點過程中損失的機械能；運用微積分思想求出曲線軌道上摩擦力做功，與傾斜直線軌道上摩擦力做功做比較，即可判斷雪橇和游客的整體從C點運動到E點過程中損失機械能的情況。

（1）設C點軌道對雪橇的支持力為NC，根據牛頓第二定律可得：

代入數據解得：

根據牛頓第三定律可得，雪橇在C點時對雪道的壓力：NC′=NC=495N

（2）設雪橇在BC段克服摩擦力做的功為WBC，從A到C對雪橇和游客的整體運用動能定理可得：

代入數據解得：WBC=25J

（3）對整體從C到E運用動能定理可得：

代入數據解得從C到E克服摩擦力做功：WCE=7050J
所以整體從C點運動到E點過程中損失的機械能：W損=WCE=7050J

（4）設D到E的水平距離為L，平滑連接的傾斜直線軌道傾角為θ，

摩擦力做功：

曲線軌道上任選極短一段如圖所示，將這一小段近似看成傾角為α的傾斜直線軌道，該端軌道在水平方向上的投影長為△x，則摩擦力在該段軌道上做功： ，所以整個曲線軌道摩擦力做功等于每一小段摩擦力做功的累加，即：

故兩軌道的摩擦力做功相同：
所以雪橇和游客的整體從C點運動到E點過程中損失的機械能相同。