Question

2．如圖所示，在平面直角坐標系xOy內，第Ⅱ、Ⅲ象限內存在沿y軸正方向的勻強電場，第I、IV象限內存在半徑為L的圓形勻強磁場，磁場圓心在M（L，0）點，磁場方向垂直坐標平面向外，一帶正電的粒子從第III象限中的Q（-2L，-L）點以速度v₀=2m/s沿x軸正方向射出，恰好從坐標原點O進入磁場，從P（2L，0）點射出磁場，不計粒子重力，求：
（1）粒子進入磁場時的速度大小和方向；
（2）電場強度與磁感應強度大小之比；
（3）若L=1m，則粒子在磁場與電場中運動的總時間是多少？

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，根據(jù)平拋運動的基本公式及幾何關系即可求解速度大小和方向；
（2）設粒子在電場中運動的加速度大小為a，根據(jù)牛頓第二定律及速度時間公式即可求解電場強度；再根據(jù)向心力公式及由幾何關系求出半徑即可求磁場強度；從而求出E和B的比值；
（3）根據(jù)周期公式先求出粒子在磁場中運動的時間，再加上在電場中運動的時間即可求解．

解答 解：（1）在電場力運動過程中，在水平方向上做勻速直線運動，故有：2L=v₀t₁ …①
在豎直方向上做勻變速直線運動，故有：$L=\frac{1}{2}at_1^2$=$\frac{{v}_{y}}{2}t$…②
則可知粒子到達O點時沿y軸正方向的分速度為：v_y=at₁=v₀，
故$tanα=\frac{v_y}{v_0}=1$，
即末速度與水平方向的夾角α=45°
粒子在磁場中的運動速度為：$v=\sqrt{2}{v_0}=2\sqrt{2}m/s$
（2）由牛頓第二定律可知：
qE=ma…③
聯(lián)立①、②、③式解得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$…④
洛倫茲力充當向心力，所以有：$Bqv=m\frac{v^2}{r}$，
得：$r=\frac{mv}{Bq}=\frac{{\sqrt{2}m{v_0}}}{Bq}$
根據(jù)幾何關系可得：$r=\sqrt{2}L$，
故磁感應強度：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$…⑤
聯(lián)立④⑤解得電場強度與磁感應強度的比值：
$\frac{E}{B}=\frac{v_0}{2}=1$
（3）粒子在電場中運動時間為：t₁=$\frac{2L}{{v}_{0}}$=$\frac{2}{2}$s=1s；
粒子在磁場中的運動軌跡的圓心角為90°，故粒子在磁場中的運動時間為：${t_2}=\frac{{\frac{π}{2}}}{2π}T$，
周期為：T=$\frac{2πL}{{v}_{0}}$
由題意知：L=1m，
聯(lián)立解得：${t_2}=\frac{πL}{{2{v_0}}}$，
則粒子運動總時間為：t=t₁+t₂，
聯(lián)立可得：$t=（{1+\frac{π}{4}}）s$
答：（1）粒子進入磁場時的速度大小為2$\sqrt{2}$m/s；方向與水平方向成45°角；
（2）電場強度與磁感應強度大小之比為1；
（3）若L=1m，則粒子在磁場與電場中運動的總時間是（1+$\frac{π}{4}$）s．

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，粒子垂直射入電場，在電場中偏轉做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求解，知道半徑公式及周期公式，難度適中．