Question

19．如圖所示，真空中有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和方向沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，當(dāng)質(zhì)量為m的帶電粒子以速度v沿y軸正方向射入該區(qū)域時(shí)，恰好能沿y軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)；若撤去磁場(chǎng)只保留電場(chǎng)，粒子以相同的速度從O點(diǎn)射入，經(jīng)過一段時(shí)間后通過坐標(biāo)為（L，2L）的b點(diǎn)；若撤去電場(chǎng)，只保留磁場(chǎng)，并在直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)O處放置一粒子源，它能向各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量均為m、速度均為v的帶電粒子，不計(jì)粒子的重力和粒子之間的相互作用力；求：
（1）只保留電場(chǎng)時(shí)，粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，電場(chǎng)力所做的功W；
（2）只保留磁場(chǎng)時(shí)，粒子源發(fā)射的粒子從O點(diǎn)第一次運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為（L，2L）的a點(diǎn)所用的時(shí)間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與功的計(jì)算公式可以求出電場(chǎng)力做的功．
（2）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律、粒子周期公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)粒子的電量為q，勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．只保留電場(chǎng)時(shí)，粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，
有：
2L=vt  …①
qE=ma  …②
L=$\frac{1}{2}$at² …③
W=qEL  …④
聯(lián)解①②③④得：
W=$\frac{1}{2}$mv²…⑤
（2）當(dāng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)同時(shí)存在時(shí)，有：
qvB-qE=0…⑥
若撤去電場(chǎng)保留磁場(chǎng)，則由牛頓定律：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…⑦
聯(lián)解得：
R=2L…⑧
粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示的兩種情況，圓心分別為O₁、O₂，易知△O₁aO和△O₂aO均為等邊三角形，所以：
θ=$\frac{π}{3}$…⑨
粒子從O點(diǎn)第一次到達(dá)a點(diǎn)所用的時(shí)間分別為：
t₁=$\frac{θR}{v}$=$\frac{2πL}{3v}$…⑩
t₂=$\frac{（2π-θ）R}{v}$=$\frac{5πR}{3v}$=$\frac{10πL}{3v}$…⑪
答：（1）只保留電場(chǎng)時(shí)，粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)，電場(chǎng)力所做的功W為$\frac{1}{2}$mv²；
（2）只保留磁場(chǎng)時(shí)，粒子源發(fā)射的粒子從O點(diǎn)第一次運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)為（0，2L）的a點(diǎn)所用的時(shí)間t為$\frac{2πL}{3v}$或$\frac{10πL}{3v}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子做類似平拋運(yùn)動(dòng)和勻速圓周運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律，畫出圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡并結(jié)合幾何關(guān)系列式分析是關(guān)鍵．