Question

【題目】如圖所示，質(zhì)量為m的由絕緣材料制成的球與質(zhì)量為M＝19m的金屬球并排懸掛，擺長(zhǎng)相同，均為l.現(xiàn)將絕緣球拉至與豎直方向成θ＝60°的位置自由釋放，擺至最低點(diǎn)與金屬球發(fā)生彈性碰撞．在平衡位置附近存在垂直于紙面的磁場(chǎng)，已知由于磁場(chǎng)的阻尼作用，金屬球總能在下一次碰撞前停在最低點(diǎn)處，重力加速度為g.求：

(1)第一次碰撞前絕緣球的速度v0；

(2)第一次碰撞后絕緣球的速度v1；

(3)經(jīng)過(guò)幾次碰撞后絕緣球偏離豎直方向的最大角度將小于37°.

(你可能用到的數(shù)學(xué)知識(shí)：sin37°＝0.6，cos37°＝0.8,0.812＝0.656,0.813＝0.531,0.814＝0.430,0.815＝0.349,0.816＝0.282)

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ，方向水平向右；(3)37°

【解析】(1)絕緣球下擺過(guò)程機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律，得

mgl(1－cosθ)＝mv①

解得v0＝＝

(2)兩球碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒，以絕緣球的初速度方向?yàn)檎�方向�?/span>

由動(dòng)量守恒定律，得mv0＝mv1＋MvM②

由機(jī)械能守恒定律，得mv＝mv＋Mv③

聯(lián)立②③解得

v1＝v0＝－v0＝－，負(fù)號(hào)表示方向與碰撞前方向相反，向右；

(3)設(shè)在第n次碰撞前絕緣球的速度為vn－1，碰撞后絕緣球、金屬球的速度分別為vn和vN由于碰撞過(guò)程中動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，以碰撞前絕緣球的速度方向?yàn)檎�方向�?/span>

由動(dòng)量守恒定律，得mvn－1＝mvn＋MvN④

由機(jī)械能守恒定律，得mv＝mv＋Mv⑤

由④、⑤兩式及M＝19m，解得vn＝－vn－1

第n次碰撞后絕緣球的動(dòng)能為：En＝mv＝(0.81)nE0⑥

E0為第1次碰撞前絕緣球的動(dòng)能，即初始能量

得＝(0.81)n

而絕緣球在θ＝60°與θ＝37°處的勢(shì)能之比為：＝0.4

根據(jù)上面數(shù)學(xué)知識(shí)：0.814＝0.430,0.815＝0.349，因此，經(jīng)過(guò)5次碰撞后θ將小于37°