Question

19．如圖所示，傳送帶與地面的夾角為θ=37⁰，長度x_AB=16m，以10m/s的速率逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；在傳送帶上端的A處無初速地放上一個(gè)質(zhì)量為0.5kg的物體，它與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5，傳送帶的下方和一個(gè)斜面平滑相連，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)也是0.5，斜面的下端O固定一個(gè)輕彈簧，輕彈簧的另一端在C位置；物體離開傳送帶后向下壓縮彈簧到最短又被彈簧彈回，向上運(yùn)動(dòng)最高到達(dá)D點(diǎn)；已知x_BC=20cm，x_CD=8cm，取g=10m/s²，求：
（1）物體從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需的時(shí)間；
（2）物體在傳送帶上產(chǎn)生的熱量；
（3）彈簧被物體壓縮到最短時(shí)的彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）物體放上傳送帶后，開始階段物體受到沿傳送帶向下的滑動(dòng)摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律求出物體的加速度，根據(jù)速度時(shí)間公式求出物體與傳送帶共速時(shí)的時(shí)間，然后物體受到沿斜面向上的摩擦力作用，再根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的大小，根據(jù)位移時(shí)間公式求出第二階段的時(shí)間．從而求出物體從A端運(yùn)動(dòng)到B端所需的時(shí)間．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出物體與傳送帶間的相對位移，再求產(chǎn)生的熱量．
（3）從B到彈簧被壓縮到最短時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理可求彈簧被物體壓縮到最短時(shí)的彈性勢能．

解答 解：（1）物體放在傳送帶上后，開始的階段，由于傳送帶的速度大于物體的速度，物體所受的摩擦力沿傳送帶向下，受力如圖甲所示，
物體由靜止加速，由牛頓第二定律可知：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得：a₁=10m/s²
物體加速帶與傳送帶相同速度需要的時(shí)間為：t₁=1s
物體加速度到與傳送帶相同速度經(jīng)過的位移為：
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}×10×{1}^{2}$m=5m＜x_AB=16m
由于μ＜tanθ （μ=0.5，tanθ=0.75）物體在重力作用下將繼續(xù)加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體的速度大于傳送帶的速度時(shí)，物體受到沿傳送帶向上的摩擦力，受力如圖乙所示，由牛頓第二定律可得：mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得：a₂=10m/s²
設(shè)后一階段物體滑至傳送帶底端所用時(shí)間為t₂，由x₂=L-x₁=vt₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$=11m
解得：t₂=1s（t₂=-11s舍去）
所以物體從A運(yùn)動(dòng)到B所用的時(shí)間為：t=t₁+t₂=2s
（2）物體第一階段加速時(shí)，傳送帶的位移為：x₁′=vt₁=10m
第一段產(chǎn)生的熱量為：Q₁=μmgcosθ（x₁′-x₁）
代入數(shù)據(jù)解得：Q₁=10J
第二階段加速時(shí)，傳送帶的位移為：x₂′=vt₂=10m
產(chǎn)生的熱量為：Q₂=μmgcosθ（x₂′-x₂）
代入數(shù)據(jù)解得：Q₂=2J
產(chǎn)生的總熱量：Q=Q₁+Q₂=12J
（3）從B到彈簧被壓縮到最短時(shí)運(yùn)用動(dòng)能定理有：mgsinθ•（x_BC+x）-μmgcosθ•（x_BC+x）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
從彈簧被壓縮到最短向上運(yùn)動(dòng)到D運(yùn)用動(dòng)能定理有：E_p=mgsinθ•（x_DC+x）+μmgcosθ•（x_DC+x）
滑塊到B點(diǎn)的速度 v_B=$\sqrt{{v}^{2}+2{a}_{2}{x}_{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+2×2×11}$=12m/s
解得：x=4m，E_p=60J
答：（1）物體從A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所需的時(shí)間是2s；
（2）物體在傳送帶上產(chǎn)生的熱量是12J；
（3）彈簧被物體壓縮到最短時(shí)的彈性勢能是60J．

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵是要理清滑塊的運(yùn)動(dòng)過程，知道滑塊在傳送帶上經(jīng)歷了兩個(gè)勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小不等，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．