Question

如圖所示，一豎直光滑絕緣的管內(nèi)有一勁度系數(shù)為k的絕緣彈簧，其下端固定于地面，上端與一質(zhì)量為m，帶電量為+q的小球A相連，整個(gè)空間存在一豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球A靜止時(shí)彈簧恰為原長(zhǎng)。另一質(zhì)量也為m的不帶電的絕緣小球B從距A為x₀的P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下落，與A發(fā)生碰撞后一起向下運(yùn)動(dòng)(全過(guò)程中小球A的電量不發(fā)生變化，重力加速度為g)。
(1)若x₀已知，試求B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能；
(2)若x₀未知，且B與A在最高點(diǎn)恰未分離，試求A，B運(yùn)動(dòng) 到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量；
(3)在滿足第(2)問(wèn)的情況下，試求A，B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度。

Answer 1

解：(1)設(shè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)為E，在碰撞前A靜止時(shí)有qE=mg ①
解得
在與A碰撞前B的速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律得 ②

B與A碰撞后共同速度為v₁，由動(dòng)量守恒定律得mv₀=2mv₁ ③

B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能△E為 ④
(2)A，B在最高點(diǎn)恰不分離，此時(shí)A，B加速度相等，且它們間的彈力為零，設(shè)此時(shí)彈簧的伸長(zhǎng)量為x₁，則
對(duì)B：mg=ma ⑤
對(duì)A：mg+kx₁-qE=ma ⑥
所以彈簧的伸長(zhǎng)量為
(3)A，B一起運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合外力為零時(shí)，具有最大速度v_m，設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x₂，則
2mg-(qE+kx₂)=0 ⑦

由于x₁=x₂，說(shuō)明A，B在最高點(diǎn)處與合外力為零處彈簧的彈性勢(shì)能相等，對(duì)此過(guò)程由能量守恒定律得
 ⑧
解得