Question

11．如圖所示，光滑的水平面AB與半徑為R=0.32 m的光滑豎直半圓軌道BCD在B點相切，D為軌道最高點．用輕質(zhì)細(xì)線連接甲、乙兩小球，中間夾一輕質(zhì)彈簧，彈簧與甲、乙兩球不拴接．甲球的質(zhì)量為m₁=0.1kg，乙球的質(zhì)量為m₂=0.3kg，甲、乙兩球靜止在光滑的水平面上．現(xiàn)固定甲球，燒斷細(xì)線，乙球離開彈簧后進(jìn)入半圓軌道恰好能通過D點．重力加速度g取10m/s²，甲、乙兩球可看作質(zhì)點．
①試求細(xì)線燒斷前彈簧的彈性勢能；
②若甲球不固定，燒斷細(xì)線，求乙球離開彈簧后進(jìn)入半圓軌道能達(dá)到的最大高度．

Answer 1

分析 （1）乙球恰好能通過D點，由重力提供向心力，列式求出乙球通過D點時的速度大小．根據(jù)機(jī)械能守恒可求出燒斷細(xì)線后瞬間乙球的速度．根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解細(xì)線燒斷前彈簧的彈性勢能．
（2）若甲球不固定，燒斷細(xì)線的過程，兩球組成的系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能也守恒，運(yùn)用兩大守恒定律列式，可求得細(xì)線燒斷瞬間兩球的速度大小，再對乙球，根據(jù)機(jī)械能守恒求解達(dá)到的最大高度．

解答 解：（1）設(shè)乙球恰好通過D點的速度為v_D，此時由重力提供向心力，則有：
   m₂g=m₂$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$      
解得：v_D=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{3.2}$m/s
設(shè)彈簧的彈性勢能E_p，地面為零勢能面．由機(jī)械能守恒得：
  E_p=m₂g×2R+$\frac{1}{2}$m₂${v}_{D}^{2}$
解得：E_p=0.3×10×2×0.32+$\frac{1}{2}×0.3×$3.2=2.4J
（2）若甲球不固定，取向右方向為正方向．根據(jù)甲乙球和彈簧組成的系統(tǒng)動量守恒、機(jī)械能守恒得：
  m₂v₂-m₁v₁=0
  E_p=$\frac{1}{2}$m₁${v}_{1}^{2}$+$\frac{1}{2}$m₂${v}_{2}^{2}$
對于乙球，由機(jī)械能守恒得：
   m₂gh=$\frac{1}{2}$m₂${v}_{2}^{2}$
解得：h=$\frac{5}{8}$R=0.2m，因h＜R，故乙球不會脫離半圓軌道，乙球能達(dá)到的最大高度 h=0.2m
答：（1）細(xì)線燒斷前彈簧的彈性勢能是2.4J    
（2）乙球離開彈簧后進(jìn)入半圓軌道能達(dá)到的最大高度是0.2m．

點評 本題考查了求速度、做功問題，分析清楚物體運(yùn)動過程是正確解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律、動量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．