Question

7．如圖所示，兩個(gè)半徑均為R的四分之一圓弧構(gòu)成的光滑細(xì)管道ABC豎直放置，且固定在光滑水平面上，圓心連線O₁O₂水平．輕彈簧左端固定在豎直擋板上，右端與質(zhì)量為m的小球接觸（不拴接，小球的直徑略小于管的內(nèi)徑），長(zhǎng)為R的薄板DE置于水平面上，板的左端D到管道右端C的水平距離為R．開(kāi)始時(shí)彈簧處于鎖定狀態(tài)，具有一定的彈性勢(shì)能，解除鎖定，小球離開(kāi)彈簧后進(jìn)入管道，最后從C點(diǎn)拋出．已知重力加速度為g．
（1）若小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)所受的彈力大小為$\frac{3}{2}$mg，求彈簧彈性勢(shì)能的大小E_P．
（2）若換用質(zhì)量為m₁的小球用鎖定彈簧發(fā)射（彈簧勢(shì)能不變），問(wèn)小球質(zhì)量m₁滿足什么條件，從C點(diǎn)拋出的小球才能擊中薄板DE．

Answer 1

分析 （1）先由牛頓第二定律求出小球經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度，再根據(jù)能量守恒定律求解彈簧鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能E_p；
（2）小球離開(kāi)C后做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)基本公式結(jié)合能量守恒定律求出小球質(zhì)量m₁滿足的條件．

解答 解：（1）在C點(diǎn)，以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，則有
mg+$\frac{3}{2}mg$=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
對(duì)整個(gè)過(guò)程，根據(jù)能量守恒定律得
E_p=2mgR+$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
聯(lián)立解得 E_p=$\frac{13}{4}$mgR
（2）小球離開(kāi)C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，
豎直方向：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
水平方向：x₁=v₁t，
若要小球擊中薄板，應(yīng)滿足：R≤x₁≤2R，
解得：$\frac{1}{2}\sqrt{gR}≤{v}_{1}≤\sqrt{gR}$
從A到C的過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律得：
${E}_{P}=2{m}_{1}gR+\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}$
解得：$\frac{13}{10}m≤{m}_{1}≤\frac{26}{17}m$
答：（1）若小球經(jīng)C點(diǎn)時(shí)所受的彈力大小為$\frac{3}{2}$mg，彈簧彈性勢(shì)能的大小E_P為$\frac{13}{4}$mgR；
（2）小球質(zhì)量m₁滿足$\frac{13}{10}m≤{m}_{1}≤\frac{26}{17}m$條件，從C點(diǎn)拋出的小球才能擊中薄板DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求小球的動(dòng)能、重力勢(shì)能、彈簧的彈性勢(shì)能，分析清楚小球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)用能量守恒定律、牛頓第二定律、平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律即可正確解題，難度適中．