Question

2．如圖所示，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=0.60T，磁場(chǎng)內(nèi)有一塊足夠大的平面感光板ab，板面與磁場(chǎng)方向平行，板上某點(diǎn)S′的正下方有一個(gè)點(diǎn)狀的α放射源S，SS′的距離為l=16cm，放射源S向各個(gè)方向發(fā)射α粒子，速度大小都是v=3.0×10⁶ m/s，已知α粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷ C/kg．現(xiàn)只考慮在圖示平面中運(yùn)動(dòng)的α粒子．求：
（1）α粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r；
（2）通過(guò)作圖，標(biāo)出ab上被打中的區(qū)域，并求出其長(zhǎng)度P₁P₂的大��；
（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的α粒子射出粒子源S的速度方向與SS′的夾角．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛侖茲力充當(dāng)向心力可求得粒子的半徑r；
（2）利用求得的半徑r，畫(huà)出粒子打中板最左端和最右端的兩個(gè)臨界情況，根據(jù)幾何關(guān)系，即可求得ab上被打中的區(qū)域的長(zhǎng)度；
（3）找出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的情況，畫(huà)出軌跡過(guò)程圖，利用幾何關(guān)系，即可求出α粒子射出粒子源S的速度方向與SS′的夾角．

解答 解：（1）α粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌道半徑為r，由洛倫茲力提供向心力可得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{3.0×1{0}^{6}}{5×1{0}^{7}×0.60}$=0.1m=10cm
（2）由于α粒子軌道半徑確定，粒子源與ab板間距離確定，由圖可得，α粒子只能打在P₁、P₂兩點(diǎn)之間，

其中：左邊軌跡圓恰與ab相切與P₂點(diǎn)，右邊SP₁恰為直徑，根據(jù)幾何關(guān)系可得：
S′P₁=$\sqrt{（2r）^{2}-{l}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{6}^{2}}$cm=12cm
S′P₂=$\sqrt{{r}^{2}-（l-r）^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-（16-10）^{2}}$cm=8cm
故ab上被打中的區(qū)域的長(zhǎng)度為：P₁P₂=S′P₁+S′P₂=20cm
（3）當(dāng)α粒子打到放射源正上方位置S′時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的弦最短，即SS′最短，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t最短，

由圖可知：sinθ=$\frac{\frac{l}{2}}{r}$=$\frac{8}{10}$=0.8
可得：θ=53°
所以當(dāng)α粒子與SS′方向成θ=53°射入磁場(chǎng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短．
答：（1）α粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為10cm；
（2）ab上被打中的區(qū)域如圖所示，其長(zhǎng)度P₁P₂的大小為20cm；
（3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的α粒子射出粒子源S的速度方向與SS′的夾角為53°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，第一、三問(wèn)較為簡(jiǎn)單，第二問(wèn)為定圓繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)模型，是一道易錯(cuò)題，解題的關(guān)鍵在于要找到打在板最左端和最右端的兩個(gè)臨界情況，值得注意的是：由于所有粒子均逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有順時(shí)針運(yùn)動(dòng)的粒子，所以左右兩端的臨界幾何條件并不對(duì)稱，一端是直徑，另一端是相切，切不可利用對(duì)稱性先求一半再加倍．