Question

13．如圖所示，在光滑的水平面上有一質(zhì)量為2m的足夠長的長木板B，其上表面離長木板B的右端距離為l=0.7m處放一質(zhì)量為m的物塊A（可視為質(zhì)點），長木板離傳送帶左側(cè)的距離為l₁=3.2m，且傳送帶的上端與長木板B的上表面相平齊，現(xiàn)給長木板B一個水平向右，大小為F=$\frac{3}{2}$μmg的推力，當長木板B與傳送帶左側(cè)相碰的瞬間，長木板B立即停止且固定不動，同時撤去力F，物塊A以某一速度滑上以順時針勻速轉(zhuǎn)動，速度為v（未知），長度為l₂=0.5m的傳送帶后滑上與水平夾角為θ=37°的足夠長的斜面，且物塊A在斜面上上滑過程的位移與時間關(guān)系為s=kt-5t²（m）且k＞0，已知物塊A與長木板B、傳送帶及斜面之間的動摩擦因數(shù)均為μ，傳送帶轉(zhuǎn)動輪大小忽略不計，滑塊A通過軌道銜接處時無能量損失，重力加速度取g=10m/s²，求（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）μ的值；
（2）滑塊A滑上傳送帶時的速度大小
（3）物塊A在斜面上上升的最大高度h與速度v的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）物體滑上斜面的位移時間關(guān)系式結(jié)合位移公式求出加速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出動摩擦因數(shù)；
（2）AB先一起做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律求出整體的加速度，再根據(jù)速度位移公式求出B剛與傳送帶碰撞的速度；之后B靜止，A繼續(xù)向右做勻減速直線運動，由速度位移公式即可求出物塊A滑上傳送帶時的速度；
（3）A與傳送帶相互作用，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再分情況討論A在傳送帶上的運動情況，從而得到?jīng)_上斜面的初速度，從而求出最大高度；

解答 解：（1）物塊A在斜面上上滑過程的位移與時間關(guān)系$s=kt-5{t}_{\;}^{2}$，結(jié)合$x={v}_{0}^{\;}t+\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$
得$\frac{1}{2}a=-5$，即$a=-10m/{s}_{\;}^{2}$
物體沿斜面上滑過程中，根據(jù)牛頓第二定律，有：
mgsin37°+μmgcos37°=ma
得a=gsin37°+μgcos37°
即：gsin37°+μgcos37°=10
解得：μ=0.5
（2）對AB整體，根據(jù)牛頓第二定律，有
$F=（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）{a}_{1}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}μg＜μg$，所以AB相對靜止，一起向右勻加速直線運動，當長木板B與傳送帶左端相碰時，速度為${v}_{0}^{\;}$
根據(jù)速度位移公式得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{2{a}_{1}^{\;}{l}_{1}^{\;}}=\sqrt{2×\frac{1}{2}μg×{l}_{1}^{\;}}$=$\sqrt{μg{l}_{1}^{\;}}=\sqrt{0.5×10×3.2}=4m/s$
木板停止運動后，物塊由于慣性，繼續(xù)向右做勻減速直線運動，設(shè)滑塊A剛滑上傳送帶的速度為${v}_{1}^{\;}$
由牛頓第二定律：$μmg=m{a}_{2}^{\;}$，得${a}_{2}^{\;}=μg=5m/{s}_{\;}^{2}$
${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}=2（-{a}_{2}^{\;}）l$
代入數(shù)據(jù)解得${v}_{1}^{\;}=3m/s$
（3）如物塊在傳送帶上可能一直做勻減速直線運動，
${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{3}^{\;}{l}_{2}^{\;}$
得${v}_{2}^{\;}=\sqrt{{v}_{1}^{2}+2{a}_{3}^{\;}{l}_{2}^{\;}}$=$\sqrt{{3}_{\;}^{2}+2×（-5）×0.5}=2m/s$
傳送帶的速度v≤2m/s，物塊在傳送帶上一直做勻減速直線運動，到達傳送帶右端時速度為2m/s
在斜面上上升的最大高度$h=\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}sin37°=\frac{{2}_{\;}^{2}}{2×10}×0.6=0.12m$
傳送帶的速度v=3m/s，上升的最大高度$h=\frac{{v}_{2}^{2}}{2a}sin37°=\frac{{3}_{\;}^{3}}{2×10}×0.6=0.27m$
物塊A在傳送帶上一直做勻加速直線運動，
${v}_{3}^{2}-{v}_{1}^{2}=2{a}_{3}^{\;}{l}_{2}^{\;}$
得：${v}_{3}^{\;}=\sqrt{14}m/s$
如果傳送帶的速度$v≥\sqrt{14}m/s$
物塊在斜面上上升的最大高度$h=\frac{{v}_{3}^{2}}{2a}sin37°=\frac{14}{20}×0.6=0.42$
故傳送帶的速度0≤v≤2m/s，一直做勻減速運動，物塊A上升的最大高度h=0.12m
傳送帶的速度2m/s＜v＜3m/s，先勻減速后與傳送帶共速做勻減速運動，0.12m＜h＜027m
傳送帶的速度v=3m/s，勻速運動，h=027m，
傳送帶的速度$3m/s＜v＜\sqrt{14}m/s$，先勻加速運動速度與傳送帶速度相等再做勻速運動，上升的最大高度0.27m＜h＜0.42m
傳送帶的速度$v≥\sqrt{14}m/s$，一直做勻加速運動，上升的最大高度h=0.42m
答：（1）μ的值0.5；
（2）滑塊A滑上傳送帶時的速度大小3m/s
（3）物塊A在斜面上上升的最大高度h與速度v的關(guān)系．
0≤v≤2m/s，h=0.12m；2m/s＜v＜3m/s，0.12m＜h＜027m；$3m/s＜v＜\sqrt{14}m/s$，0.27m＜h＜0.42m；$v≥\sqrt{14}m/s$，h=0.42m

點評 解決本題的關(guān)鍵理清物塊在整個過程中的運動規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解，知道加速度是聯(lián)系力學和運動學的橋梁．