Question

6．圖甲為顯像管工作原理示意圖，陰極K發(fā)射的電子束（初速不計(jì)）經(jīng)電壓為U的加速電場(chǎng)后，進(jìn)入一圓形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)，磁場(chǎng)方向垂直于圓面（以垂直圓面向里為正方向），磁場(chǎng)區(qū)的中心為O，半徑為r，熒光屏MN到磁場(chǎng)區(qū)中心O的距離為L(zhǎng)．當(dāng)不加磁場(chǎng)時(shí)，電子束將通過O點(diǎn)垂直打到屏幕的中心P點(diǎn)．當(dāng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間按圖乙所示的規(guī)律變化時(shí)，在熒光屏上得到一條長(zhǎng)為2$\sqrt{3}$L的亮線．由于電子通過磁場(chǎng)區(qū)的時(shí)間很短，可以認(rèn)為在每個(gè)電子通過磁場(chǎng)區(qū)的過程中磁感應(yīng)強(qiáng)度不變．已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m，不計(jì)電子之間的相互作用及所受的重力．求：

（1）電子打到熒光屏上時(shí)速度的大小；
（2）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值B₀；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀時(shí)，電子通過磁場(chǎng)區(qū)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理，選取電子打到熒光屏上作為過程，即可求解；
（2）根據(jù)電子束最大偏轉(zhuǎn)，得出PQ的長(zhǎng)度，由三角函數(shù)，可求出θ，再根據(jù)幾何關(guān)系，與牛頓第二定律及洛倫茲力公式，即可求解；
（3）根據(jù)電子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角與電子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出電子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答 解：（1）電子打到熒光屏上時(shí)速度的大小等于它飛出加速電場(chǎng)的速度大小，由動(dòng)能定理得：eU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
解得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為峰值B₀時(shí)，電子束有最大偏轉(zhuǎn)，在熒光屏上打在Q點(diǎn)．則有：
PQ=$\sqrt{3}$L，電子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
設(shè)此時(shí)的偏轉(zhuǎn)角為θ，由幾何關(guān)系可知，
tanθ=$\frac{\sqrt{3}L}{L}$，
解得：θ=60°，
根據(jù)幾何關(guān)系，電子束在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)路徑所對(duì)圓心角α=θ，
而tan$\frac{α}{2}$=$\frac{r}{R}$，
由牛頓第二定律得：evB₀=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：B₀=$\frac{\sqrt{6meU}}{3er}$；
（3）電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πm}{e{B}_{0}}$=$\frac{6πmr}{\sqrt{6meU}}$，
電子在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的圓心角：α=60°，
電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=$\frac{α}{360°}$T=$\frac{1}{6}$T=$\frac{πmr}{\sqrt{6meU}}$；
答：（1）電子打到熒光屏上時(shí)速度的大小為$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$；
（2）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度的最大值為$\frac{\sqrt{6meU}}{3er}$；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀時(shí)，電子通過磁場(chǎng)區(qū)的時(shí)間為$\frac{πmr}{\sqrt{6meU}}$．

點(diǎn)評(píng) 考查動(dòng)能定理的應(yīng)用，掌握牛頓第二定律與洛倫茲力公式的綜合，理解幾何關(guān)系正確的運(yùn)用，注意正確畫出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，建立已知長(zhǎng)度與半徑的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．