Question

8．如圖所示，一質(zhì)量m₁=1kg，半徑R=0.8m的光滑四分之一圓弧滑槽AB，固定于光滑水平臺(tái)面上，現(xiàn)有可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊m₂=15kg，從滑槽頂端A點(diǎn)靜止釋放，到達(dá)底端B后滑上與水平臺(tái)面等高的水平傳送帶CD，傳送帶固定不轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，滑塊恰能到達(dá)D端，已知傳送帶CD的長(zhǎng)L=4m，g取10m/s²．
（1）滑塊滑到圓弧底端B點(diǎn)時(shí)對(duì)滑槽的壓力多大？滑塊從C到D需要多長(zhǎng)時(shí)間？
（2）如果滑槽不固定，滑塊滑到圓弧底端B時(shí)的速度多大？
（3）如果滑槽不固定，如果滑槽不固定，為使滑塊從C到D歷時(shí)與第一問(wèn)相同，傳送帶應(yīng)以多大的速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)？（答案可用根號(hào)表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出滑塊到達(dá)B點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的大小，從而根據(jù)牛頓第三定律求出滑塊對(duì)B點(diǎn)的壓力大�。�根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)速度公式和速度位移公式研究CD段，即可求得時(shí)間．
（2）如果滑槽不固定，滑塊下滑過(guò)程中，滑槽將向左運(yùn)動(dòng)，根據(jù)系統(tǒng)的水平動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式求解．
（3）如果滑槽不固定，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得到滑塊運(yùn)動(dòng)時(shí)間的表達(dá)式，即可求解．

解答 解：（1）滑塊到達(dá)B端時(shí)速度v_B，由動(dòng)能定理可得：${m_2}gR=\frac{1}{2}{m_2}v_B^2-0$ ①
解得  v_B=4m/s
由牛頓第二定律可得，滑槽在B點(diǎn)對(duì)滑塊的支持力F_N，得
  ${F_N}-{m_2}g={m_2}\frac{v_B^2}{R}$  ②
解得 F_N=450N
由牛頓第三定律可得：$F_N^'={F_N}=450N$ ③
滑塊由C到D，有：$L=\frac{v_B^2}{2a}$ ④
 $t=\frac{v_B}{a}$ ⑤
解得a=2m/s²，t=2s
（2）以m₁、m₂組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，當(dāng)m₂滑到水平臺(tái)面時(shí)m₁、m₂的速度的分別為v₁．v₂
取水平向左為正方向，在水平方向由動(dòng)量守恒定律可得m₁v₁-m₂v₂=0 ⑥
由機(jī)械能守恒定律可得 ${m_2}gR=\frac{1}{2}{m_1}ν_1^2+\frac{1}{2}{m_2}v_2^2$ ⑦
聯(lián)立解得 v₂=1m/s
（3）設(shè)傳送帶速度為，滑塊在傳送帶上加速時(shí)間t₁
則 ${t_1}=\frac{{{v_3}-{v_2}}}{a}$ ⑧
  $L=\frac{v_3^2-v_2^2}{2a}+{v_3}（t-{t_1}）$ ⑨
解得${v_3}=5-2\sqrt{2}m/s$或${v_3}=5+2\sqrt{2}m/s$（舍棄） 
答：
（1）滑塊滑到圓弧底端B點(diǎn)時(shí)對(duì)滑槽的壓力為450N，滑塊從C到D需要2s時(shí)間．
（2）如果滑槽不固定，滑塊滑到圓弧底端B時(shí)的速度為1m/s．
（3）為使滑塊從C到D歷時(shí)與第一問(wèn)相同，傳送帶應(yīng)以 5-2$\sqrt{2}$ m/s的速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．

點(diǎn)評(píng) 本題第一問(wèn)較為基礎(chǔ)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律并結(jié)合向心力公式列式求解即可；第二問(wèn)關(guān)鍵根據(jù)功能關(guān)系和動(dòng)量守恒定律列式，如果采用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式相結(jié)合求解，會(huì)使問(wèn)題復(fù)雜化．