Question

6．“嫦娥之父”歐陽自遠(yuǎn)透露，我國計(jì)劃于2020年登陸火星．假如某志愿者登上火星后將一小球從高為h的地方由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力，測得經(jīng)過時(shí)間t小球落在火星表面，已知火星的半徑為R，引力常量為G，不考慮火星自轉(zhuǎn)，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 火星的第一宇宙速度為$\sqrt{\frac{2hR}{t}}$
• B． 火星的質(zhì)量為$\frac{2{h}^{2}R}{G{r}^{2}}$
• C． 火星的平均密度為$\frac{3h}{2πRG{r}^{2}}$
• D． 環(huán)繞火星表面運(yùn)行的衛(wèi)星的周期為πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得火星表面的重力加速度，根據(jù)第一宇宙速度求得火星的第一宇宙速度，根據(jù)重力等于萬有引力求出火星質(zhì)量，由密度公式得出火星的密度，環(huán)繞火星運(yùn)行的衛(wèi)星即近地衛(wèi)星的周期，根據(jù)$T=\frac{2πR}{v}$求周期

解答 解：A、根據(jù)$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$得火星表面的重力加速度$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$，在火星表面的近地衛(wèi)星的速度即第一宇宙速度$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，解得$v=\sqrt{gR}$，所以火星的第一宇宙速度$v=\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}$，故A錯(cuò)誤；
B、火星表面任意物體的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}$，故B錯(cuò)誤；
C、火星的體積為$V=\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，根據(jù)$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{2h{R}_{\;}^{2}}{G{t}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3h}{2πRG{t}_{\;}^{2}}$，故C正確；
D、根據(jù)$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πR}{\sqrt{\frac{2hR}{{t}_{\;}^{2}}}}=πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故D正確，
故選：CD

點(diǎn)評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，并能靈活運(yùn)用，知道第一宇宙速度等于貼近星球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速度，即軌道半徑等于星球的半徑