Question

9．某球形行星“一晝夜”時(shí)間為T，在該行星上用彈簧秤測同一物體的重力，發(fā)現(xiàn)其“赤道”上的讀數(shù)比在其“兩極”處小16%，該行星的半徑為R，萬有引力常置為G．求：
（1）該行星的質(zhì)量；
（2）若設(shè)想在該行星的表面發(fā)射一顆環(huán)繞表面的衛(wèi)星，該衛(wèi)星的周期多大？

Answer 1

分析 （1）由萬有引力定律知星體表面的物體所受的萬有引力為F=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$．在赤道上其中16%F充當(dāng)物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，即16%×G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，再聯(lián)立求解行星的質(zhì)量．
（2）在該行星的表面發(fā)射一顆環(huán)繞表面的衛(wèi)星，其軌道半徑近似等于星體半徑R．由萬有引力充當(dāng)向心力列式，結(jié)合第一問結(jié)果即可解得衛(wèi)星的周期．

解答 解：（1）由萬有引力定律知，星體表面的物體所受的萬有引力為 F=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$ ①
在赤道上其中16%F充當(dāng)物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，即16%×G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R ②
由①②聯(lián)立解得：M=$\frac{25{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）在該行星的表面發(fā)射一顆環(huán)繞表面的衛(wèi)星，其軌道半徑近似等于星體半徑R，由萬有引力充當(dāng)向心力知：
   G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{T{′}^{2}}$R ③
由①③式聯(lián)立解得：T′=$\frac{2}{5}$T
答：
（1）該行星的質(zhì)量是$\frac{25{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）若設(shè)想在該行星的表面發(fā)射一顆環(huán)繞表面的衛(wèi)星，該衛(wèi)星的周期是$\frac{2}{5}$T．

點(diǎn)評 解決此類問題的關(guān)鍵是找到物體和衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力的來源，并結(jié)合萬有引力定律解決問題．