Question

11．如圖所示，木板與水平地面間的夾角θ可以隨意改變．當(dāng)θ=30°時(shí)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小木塊恰好能沿著木板勻速下滑．若讓該小木塊從木板的底端以v₀=10m/s的速度沿木板向上運(yùn)動(dòng)，隨著θ的改變，小木塊沿木板向上滑行的距離s將發(fā)生變化．取g=10m/s²．

（1）求小木塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ．
（2）當(dāng)θ為多少時(shí)，小木塊沿木板向上滑行的距離最小？請(qǐng)求出此最小值s_min．

Answer 1

分析 （1）θ=30°時(shí)，小木塊恰好能沿著木板勻速下滑，根據(jù)平衡條件和摩擦力公式列方程，可求出摩擦因數(shù)；
（2）根據(jù)牛頓第二定律得出速度的表達(dá)式，然后根據(jù)位移公式得到上滑距離S的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求S的極值．

解答 解：（1）當(dāng)θ=30°時(shí)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小木塊恰好能沿著木板勻速下滑，$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2a}=\frac{100}{2×（10sinα+\frac{\sqrt{3}}{3}×10×cosα）}$
根據(jù)共點(diǎn)力平衡得，mgsin30°=μmgcos30°，
解得$μ=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）小木塊上的加速度a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$，
則上滑的距離s=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g（sinθ+μcosθ）}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}sin（θ+φ）}$，式中tanφ=μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，φ=30°
當(dāng)θ+φ=90°時(shí)，S最小，此時(shí)有：θ=60°．
則最小值${s}_{min}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2g\sqrt{1+{μ}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．
答：（1）小木塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）當(dāng)θ=60°時(shí)，小物塊沿木板上滑的距離最小，此最小值為$\frac{\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}}{4g}$．

點(diǎn)評(píng) 本題第二問(wèn)中求加速度和位移是物理學(xué)中的常規(guī)問(wèn)題，關(guān)鍵是由數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)求極值，要重視數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用．