Question

18．一個廢棄的空礦井，井口和井底都是水平的．井口和井底以及任意水平橫截面都是邊長為a的正方形，四個側(cè)面墻壁都與水平面垂直．礦井的深度為H，如圖所示．在井口的一邊的中點A，以垂直于該側(cè)面墻壁的速度v水平拋出一個質(zhì)量為m的小球，小球進入礦井運動，空氣阻力忽略不計．在第（1）個問和第（3）個問中，g=9.8m/s，在第（2）個問中，重力加速度用g表示，且都保持不變．
（1）若H=4.9m，a=6m，小球不會與側(cè)面墻壁相碰就落到了井底，求小球在空中運動的時間、速度v的取值范圍．
（2）若H、a、v都是已知條件但具體數(shù)值未知，用所給的字母表示出小球做平拋運動的時間．
（3）若小球與側(cè)面墻壁的碰撞是一種非常理想的碰撞，每次碰撞都滿足：設(shè)撞擊墻壁前瞬間的速度為v₁，如圖所示，類似于光的反射一樣，反彈的速度大小v₂=v₁，并且角度滿足圖示的情形，且碰撞時間極短．H=78.4m、a=5m、v=7m/s，求小球在落到井底之前能與側(cè)面墻壁碰撞的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）小球做平拋運動，在豎直方向上做勻加速直線運動，水平方向做勻速直線運動，由運動學(xué)公式求解運動時間．
（2）分小球未碰到側(cè)面墻壁和碰到側(cè)面墻壁進行討論，由運動學(xué)公式求解．
（3）由公式：H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$求出小球一直下落到井底的總時間，小球一直在水平方向做勻速直線運動，s=vt，由N=$\frac{s}{a}$求解碰撞次數(shù)．

解答 解：（1）由H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：$t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×4.9}{9.8}}s=1s$，
由a=v_maxt得：${v}_{max}=\frac{a}{t}=\frac{6}{1}m/s=6m/s$，
故速度v的取值范圍為0m/s＜v＜6m/s．
（2）若$\sqrt{\frac{2H}{g}}＜\frac{a}{v}$，t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$，
若$\sqrt{\frac{2H}{g}}＞\frac{a}{v}$，t=$\frac{a}{v}$，
若$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\frac{a}{v}$，t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\frac{a}{v}$．
（3）若小球一直下落到井底：H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×78.4}{9.8}}s=4s$，
如果小球一直在水平方向做勻速直線運動，s=vt=7×4m=28m      
N=$\frac{s}{a}=\frac{28}{5}=5.6$，可以與墻壁撞擊5次．
答：（1）小球在空中運動的時間是1s、速度v的取值范圍是0m/s＜v＜6m/s．
（2）若$\sqrt{\frac{2H}{g}}＜\frac{a}{v}$，運動時間為$\sqrt{\frac{2H}{g}}$，若$\sqrt{\frac{2H}{g}}＞\frac{a}{v}$，時間為$\frac{a}{v}$，若$\sqrt{\frac{2H}{g}}=\frac{a}{v}$，時間為$\frac{a}{v}$．
（3）小球在落到井底之前能與側(cè)面墻壁碰撞的次數(shù)是5次．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道平拋運動在豎直方向上做勻加速直線運動可以根據(jù)落地速度在豎直方向上的分速度或高度去求運動的時間．