Question

13．如圖所示，某貨場(chǎng)需要將質(zhì)量為m=10kg的貨物（可視為質(zhì)點(diǎn)）從高處運(yùn)送到地面，現(xiàn)利用固定在地面上的傾斜軌道傳遞貨物，使貨物由軌道頂端無初速度滑下，軌道與水平面成θ=37°角．地面上緊靠軌道依次排放兩塊完全相同的木板A，B，長(zhǎng)度均為l=1.6米，厚度不計(jì)，質(zhì)量為m=10kg，木板上表面與軌道末端平滑連接．貨物與傾斜軌道間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₀=0.125，貨物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁，木板與地面間的動(dòng)摩擦因μ₂=0.2．
回答下列問題，（最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力大小相等，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²）
（1）若貨物從離地面高h(yuǎn)=1.5m處由靜止滑下，求貨物到達(dá)軌道末端時(shí)的速度；
（2）若貨物滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，求μ₁滿足的條件；
（3）若μ₁=0.5，貨物仍從離地面高h(yuǎn)=1.5m處由靜止滑下，求貨物最終停在距B的最左端多遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）貨物下滑時(shí)根據(jù)牛頓第二定律求出下滑時(shí)的加速度，再根據(jù)速度位移關(guān)系求出到達(dá)末端時(shí)的速度；
（2）根據(jù)木板動(dòng)與不動(dòng)的條件求解貨物與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)所滿足的條件；
（3）根據(jù)（2）中條件求解μ₁=0.5時(shí)貨物在A、B上運(yùn)動(dòng)情況由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求得貨物靜止時(shí)下滑的高度h．

解答 解：（1）如圖對(duì)斜面上的物體受力分析有：

根據(jù)牛頓第二定律有：
mgsin37°-f=ma₀
N-mgcos37°=0
滑動(dòng)摩擦力f=μ₀N
由以上三式可得貨物下滑的加速度
${a}_{0}=\frac{mgsin37°-{μ}_{0}mgcos37°}{m}$=gsin37°-μ₀gcos37°=10×0.6-0.125×10×0.8m/s²=5m/s²
物體做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知，物體到達(dá)斜面底端的速度${v}_{0}=\sqrt{2{a}_{0}\frac{{h}_{0}}{sin37°}}=\sqrt{2×5×\frac{1.5}{0.6}}m/s=5m/s$
（2）若滑上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，由受力分析可得：
μ₁mg≤μ₂（m+2m）g ①
若滑上木板B時(shí)，木板開始滑動(dòng)，由受力分析得：
μ₁mg＞μ₂（m+m）g ②
聯(lián)立①②代入數(shù)據(jù)可解得0.4＜μ₁≤0.6
（3）由（2）知貨物滑上A時(shí)，木板不動(dòng)，而滑上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)．貨物下滑高度記為h₂，到達(dá)斜道末端時(shí)速度記為v₂，${v}_{2}^{2}=2{a}_{0}\frac{{h}_{2}}{sin37°}$
貨物滑上A時(shí)做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小a₁=gμ₁=5m/s²
貨物離開A時(shí)速度記為v₃，${v}_{3}^{2}-{v}_{2}^{2}=-2{a}_{1}l$
貨物滑上B時(shí)，自身加速度大小a₂=gμ₁=5m/s²，B的加速度大小a₃=gμ₁-2gμ₂=1m/s²
由題意，貨物到達(dá)B最右端時(shí)兩者恰好具有共同速度，記為v₄
貨物做勻減速運(yùn)動(dòng)：v₄=v₃-a₂t，${v}_{4}^{2}-{v}_{3}^{2}=-2{a}_{2}{l}_{貨}$，
B做勻加速運(yùn)動(dòng)：v₄=a₃t，${v}_{4}^{2}=2{a}_{3}{l}_{B}$
位移關(guān)系滿足：l_B+l=l_貨
代入數(shù)據(jù)解得：h₂=2.64m
答：（1）若貨物從離地面高h(yuǎn)₀=1.5m處由靜止滑下，貨物到達(dá)軌道末端時(shí)的速度v₀為5m/s；
（2）若貨物劃上木板A時(shí)，木板不動(dòng)，而劃上木板B時(shí)，木板B開始滑動(dòng)，μ₁應(yīng)滿足0.4＜μ₁≤0.6；
（3）若μ₁=0.5，為使貨物恰能到達(dá)B的最右端，貨物由靜止下滑的高度h應(yīng)為2.64m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了牛頓運(yùn)動(dòng)定律的應(yīng)用，特別需要注意的是貨物在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)木板的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由于是兩塊木板，所以貨物運(yùn)到到不同的地方時(shí)木板的受力不一樣．