Question

17．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，萬有引力常量為G，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．
（1）求近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的周期T；
（2）若地球的自轉(zhuǎn)周期為T₁，求地球同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的運(yùn)行速度v₁；
（3）若地球同步衛(wèi)星離地面的高度約為地球半徑的6倍，某行星的平均密度為地球平均密度的一半，它的同步衛(wèi)星距其表面的高度是其半徑的2.5倍，求該行星的自轉(zhuǎn)周期．

Answer 1

分析 （1）近地衛(wèi)星軌道半徑等于地球的半徑，根據(jù)萬有引力提供向心力及重力等于等于萬有引力即可求出近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)動的周期T；
（2）先求出同步衛(wèi)星的軌道半徑，再根據(jù)$v=\frac{2πr}{T}$求出同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度；
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，分別列出地球同步衛(wèi)星和行星的同步衛(wèi)星的方程，即可求出行星的同步衛(wèi)星的周期

解答 解：（1）根據(jù)地球表面物體重力等于萬有引力，有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，得$GM=g{R}_{\;}^{2}$①
近地衛(wèi)星環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
解得：$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{GM}}$②
聯(lián)立①②得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$
（2）設(shè)同步衛(wèi)星的軌道半徑為${r}_{1}^{\;}$，根據(jù)萬有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{2}}{r}_{1}^{\;}$
解得：${r}_{1}^{\;}=\root{3}{\frac{GM{T}_{1}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{1}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
同步衛(wèi)星環(huán)繞地球的運(yùn)行速度${v}_{1}^{\;}=\frac{2π{r}_{1}^{\;}}{{T}_{1}^{\;}}=\root{3}{\frac{2πg(shù){R}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{\;}}}$
（3）地球的同步衛(wèi)星的周期為T₁=24小時，軌道半徑為r₁=7R₁，密度ρ₁．某行星的同步衛(wèi)星周期為T₂，軌道半徑為r₂=3.5R₂，密度ρ₂．根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律分別有
地球同步衛(wèi)星：$\frac{G{m}_{1}^{\;}×{ρ}_{1}^{\;}×\frac{4}{3}π{R}_{1}^{3}}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}^{\;}（\frac{2π}{{T}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}$
行星的同步衛(wèi)星：$\frac{G{m}_{2}^{\;}×{ρ}_{2}^{\;}×\frac{4}{3}π{R}_{2}^{3}}{{r}_{2}^{3}}={m}_{2}^{\;}（\frac{2π}{{T}_{2}^{\;}}）_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}$
兩式化簡得T₂=$\frac{{T}_{1}^{\;}}{2}$=12小時．
答：（1）求近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的周期T為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$；
（2）若地球的自轉(zhuǎn)周期為T₁，求地球同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的運(yùn)行速度${v}_{1}^{\;}$為$\root{3}{\frac{2πg(shù){R}_{\;}^{2}}{{T}_{1}^{\;}}}$；
（3）若地球同步衛(wèi)星離地面的高度約為地球半徑的6倍，某行星的平均密度為地球平均密度的一半，它的同步衛(wèi)星距其表面的高度是其半徑的2.5倍，該行星的自轉(zhuǎn)周期為12h．

點(diǎn)評 運(yùn)用黃金代換式$GM=g{R}_{\;}^{2}$求出問題是考試中常見的方法．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．