Question

4．如圖Ox、Oy、Oz為相互垂直的坐標(biāo)軸，Oy軸為豎直方向，整個(gè)空間存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O以速度v₀沿Ox軸正方向拋出（不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g）．求：
（1）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求場(chǎng)強(qiáng)E₁和小球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，使小球沿Ox軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求E₂的大��；
（3）若在整個(gè)空間加一沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，求該小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O拋出后，經(jīng)過y軸時(shí)的坐標(biāo)y和動(dòng)能E_k．

Answer 1

分析 （1）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，重力與電場(chǎng)力平衡，由平衡條件求出場(chǎng)強(qiáng)．由牛頓第二定律求出半徑．
（2）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，使小球沿Ox軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力的合力為零，根據(jù)平衡條件求出場(chǎng)強(qiáng)．
（3）若在整個(gè)空間加一沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球在復(fù)合場(chǎng)中做螺旋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用分解法研究坐標(biāo)y和動(dòng)能E_k．

解答 解：（1）由于小球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)軌道半徑為r，
則qE₁=mg
解得  ${E_1}=\frac{mg}{q}$
方向沿y軸正向
$qvB=m\frac{v_0^2}{r}$
解得：$r=\frac{{m{v_0}}}{qB}$
（2）小球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力平衡，則
$q{E_2}=\sqrt{{{（mg）}^2}+{{（q{v_0}B）}^2}}$
解得：${E_2}=\sqrt{{{（\frac{mg}{q}）}^2}+v_0^2{B^2}}$
（3）小球在復(fù)合場(chǎng)中做螺旋運(yùn)動(dòng)，可以分解成水平面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和沿y軸方向的勻加速運(yùn)動(dòng)．
做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度   $a=\frac{{q{E_3}-mg}}{m}=2g$
從原點(diǎn)O到經(jīng)過y軸時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間  t=nT
$y=\frac{1}{2}a{t^2}$
解得：$y=\frac{{4{n^2}{π^2}{m^2}g}}{{{q^2}{B^2}}}$（n=1、2、3…）
由動(dòng)能定理得：$（q{E_3}-mg）y={E_k}-\frac{1}{2}m{v_0}^2$
解得${E_k}=\frac{1}{2}m{v_0}^2+\frac{{8{n^2}{π^2}{m^3}{g^2}}}{{{q^2}{B^2}}}$（n=1、2、3…）
答：（1）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁，使小球在xOz平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，場(chǎng)強(qiáng)E₁和小球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\frac{m{v}_{0}}{qB}$；
（2）若在整個(gè)空間加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂，使小球沿Ox軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，E₂的大小為$\sqrt{（\frac{mg}{q}）^{2}+{v}_{0}^{2}{B}^{2}}$；
（3）若在整個(gè)空間加一沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，求該小球從坐標(biāo)原點(diǎn)O拋出后，經(jīng)過y軸時(shí)的坐標(biāo)y為$\frac{4{n}^{2}{π}^{2}{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}（n=1、2、3…）$和動(dòng)能E_k為$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{8{n}^{2}{π}^{2}{m}^{3}{g}^{2}}{{q}^{2}{B}^{2}}（n=1、2、3…）$

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要掌握物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的條件，分析受力情況是基礎(chǔ)．對(duì)于小球做螺旋運(yùn)動(dòng)，采用運(yùn)動(dòng)的分解法研究是常用方法．