Question

在水平長(zhǎng)直的軌道上，有一長(zhǎng)度為L的平板車(chē)在外力控制下始終保持速度v₀做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)．某時(shí)刻將一質(zhì)量為m的小滑塊輕放到車(chē)面的中點(diǎn)，滑塊與車(chē)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．

（1）證明：若滑塊最終停在小車(chē)上，滑塊和車(chē)摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能與動(dòng)摩擦因數(shù)μ無(wú)關(guān)，是一個(gè)定值．

（2）已知滑塊與車(chē)面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0．2，滑塊質(zhì)量m=1kg，車(chē)長(zhǎng)L=2m，車(chē)速v₀=4m/s，取g=10m/s²，當(dāng)滑塊放到車(chē)面中點(diǎn)的同時(shí)對(duì)該滑塊施加一個(gè)與車(chē)運(yùn)動(dòng)方向相同的恒力F，要保證滑塊不能從車(chē)的左端掉下，恒力F大小應(yīng)該滿(mǎn)足什么條件？

（3）在（2）的情況下，力F取最小值，要保證滑塊不從車(chē)上掉下，力F的作用時(shí)間應(yīng)該在什么范圍內(nèi)?

 

Answer 1

解析：（1）根據(jù)牛頓第二定律，滑塊相對(duì)車(chē)滑動(dòng)時(shí)的加速度

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

相對(duì)車(chē)滑動(dòng)的時(shí)間 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

滑塊相對(duì)車(chē)滑動(dòng)的距離 　　　　　　　　　　　　　　　　　

滑塊與車(chē)摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能 　　　　　　　　　　　　　　　　　

由上述各式解得 （與動(dòng)摩擦因數(shù)μ無(wú)關(guān)的定值）

　 （2）設(shè)恒力F取最小值為F₁，滑塊加速度為a₁，此時(shí)滑塊恰好到達(dá)車(chē)的左端，則

滑塊運(yùn)動(dòng)到車(chē)左端的時(shí)間 　　　　 ①　　　　　　　　　　　　　

由幾何關(guān)系有 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②　　　　　　　　　　 　　　　　　

由牛頓定律有 　　　　　　 ③　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由①②③式代入數(shù)據(jù)解得 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

則恒力F大小應(yīng)該滿(mǎn)足條件是 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 （3）力F取最小值，當(dāng)滑塊運(yùn)動(dòng)到車(chē)左端后，為使滑塊恰不從右端滑出，相對(duì)車(chē)先做勻加速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度為a₂，時(shí)間為t₂），再做勻減速運(yùn)動(dòng)（設(shè)運(yùn)動(dòng)加速度大小為a₃）．到達(dá)車(chē)右端時(shí)，與車(chē)達(dá)共同速度．則有

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑥　　　　　　　　　　　　　

由④⑤⑥式代入數(shù)據(jù)解得　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

則力F的作用時(shí)間t應(yīng)滿(mǎn)足 ，即