Question

如圖中上圖所示，有兩塊大小不同的圓形薄板（厚度不計(jì)），質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長為0.4m不可伸長的輕繩連接．開始時(shí)，兩板水平放置并疊合在一起，靜止于高度為0.2m處．兩板釋放后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半徑為R′（r＜R′＜R）的圓孔，圓孔與兩薄板中心均在圓板中心軸線上，木板與支架發(fā)生碰撞碰，碰撞過程中無機(jī)械能損失．撞后兩板立刻分離，直到輕繩繃緊．輕繩繃緊的瞬間，兩物體具有共同速度V，如圖中下圖所示． （g=10m/s²）求：
（1）若M=m，則V值為多大？
（2）若M/m=K，試討論 V的方向與K值間的關(guān)系．

Answer 1

（1）M和m一起下落過程，據(jù)機(jī)械能守恒得：
（M+m）gh=

1

2

（M+m）V₀²       
解得：V₀═2m/s　�。�2分）
M碰撞支架后以Vo返回作豎直上拋運(yùn)動(dòng)，m向下做勻加速運(yùn)動(dòng)．在繩繃緊瞬間，M速度為V₁，上升高度為h₁，m的速度為V₂，下落高度為h₂．設(shè)經(jīng)過時(shí)間t繩子繃緊，則：
     h₁=V₀t-

1

2

gt²
     h₂=V₀t+gt²
又   h₁+h₂=0.4m 
得到：h₁+h₂=2V₀t，
解得：t=0.1s．
所以：V₁=V₀-gt=2-10×0.1=1m/s 
      V₂=V₀+gt=2+10×0.1=3m/s
繩子繃緊過程，取向下為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒得：
   mV₂-MV₁=（M+m）V，
那么當(dāng)m=M時(shí)，V=1m/s，方向向下；
（2）當(dāng)

M

m

=K時(shí)，V=

V2-KV1

K+1

=

3-K

K+1

．
討論：①K＜3時(shí)，V＞0，兩板速度方向向下．
②K＞3時(shí)，V＜0，兩板速度方向向上．
③K=3時(shí)，V=0，兩板瞬時(shí)速度為零，接著再自由下落．
答：（1）若M=m，V值為1m/s．
    （2）當(dāng)

M

m

=K時(shí)，①K＜3時(shí)，V＞0，兩板速度方向向下．②K＞3時(shí)，V＜0，兩板速度方向向上．③K=3時(shí)，V=0，兩板瞬時(shí)速度為零，接著再自由下落．