Question

有人利用安裝在氣球載人艙內(nèi)的單擺來確定氣球的高度，已知該單擺在海平面處的周期是T₀，當氣球停在某一高度時，測得該單擺的周期為T.求該氣球此時離海平面的高度h，把地球看作質量分布均勻的半徑為R的球體.下面分別是甲、乙、丙三位同學對本題的解答，你認為是否正確？若不正確，請說明理由，并給出正確解法和結果.

甲：因為G=m()²R

G=m()²(R+h)

所以h=R［()-1］

乙：因為G=mg₀  G=mg且T₀=2π,T=2π

所以h=R［()-1］.

丙：因為mω²R=mg₀,mω²(R+h)=mg且T₀=2π,T=2π

所以h=R［()²-1］.

Answer 1

甲、乙、丙三種解法均不正確，求得h=(-1)R

解析：甲同學把單擺振動周期與地球自轉周期、氣球繞地心做圓周運動的周期混淆導致錯解.

乙同學將單擺的擺長與地球半徑、氣球繞地心做圓周運動的軌道半徑混淆導致錯解.

丙同學誤認為地球的自轉角速度與氣球繞地心做圓周運動的角速度相同而導致錯解.

正確解法如下：根據(jù)單擺周期公式有

T₀=2π  T=2π

其中L是單擺的擺長，g₀和g分別是兩地點的重力加速度.由萬有引力等于物體的重力，即mg′=G,則g₀=  g=G  (G為引力常量，M為地球質量)

聯(lián)立上述公式解得：h=(-1)R.