Question

（2009?河西區(qū)模擬）如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個(gè)豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點(diǎn)，用水平恒力將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)從靜止開始推到B處后撤去恒力，質(zhì)點(diǎn)沿半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后又正好落回A點(diǎn)：
（1）求推力對(duì)小球所做的功．
（2）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最少？最小功為多少．
（3）x取何值時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)用力最小？最小力為多少．

Answer 1

分析：（1）小球在恒定推力作用下，在光滑水平面做勻加速直線，當(dāng)?shù)竭_(dá)B點(diǎn)撤去恒力，讓其在沿光滑半圓軌道運(yùn)動(dòng)到C處后，又正好落回A點(diǎn)．因小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，已知高度與水平位移的情況下，可求出小球在C處的速度大小，選取從A到C過程，由動(dòng)能定理可求出推力對(duì)小球所做的功．
（2）力F做功越小，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度越小，到達(dá)最高點(diǎn)C的速度越小，當(dāng)小球恰好到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，此時(shí)C點(diǎn)的速度最小，力F做功最�。�先由牛頓第二定律求出小球通過C點(diǎn)的最小速度，根據(jù)（1）問的結(jié)果求出x，即可得到最小功；
（3）根據(jù)功與x的關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解力最小時(shí)x的值及最小的力．

解答：解：（1）由題意，質(zhì)點(diǎn)從半圓弧軌道做平拋運(yùn)動(dòng)又回到A點(diǎn)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)的速度為v_C，質(zhì)點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為t，則
在水平方向：x=v_Ct     ①
豎直方向上：2R=

1

2

gt² ②
解①②有   v_C=

x

2

g R

  ③
對(duì)質(zhì)點(diǎn)從A到C，由動(dòng)能定理有
  W_F-mg?2R=

1

2

m

v

2 C

  ④
解得  W_F=

mg(16R2+x2)

8R

     ⑤
（2）要使F力做功最少，確定x的取值，由④式得 W_F=mg?2R+

1

2

m

v

2 C

，則知，只要質(zhì)點(diǎn)在C點(diǎn)速度最小，則功W_F就最�。�
若質(zhì)點(diǎn)恰好能通過C點(diǎn)，其在C點(diǎn)最小速度為v，
由牛頓第二定律有
  mg=

mυ2

R

，則  v=

Rg

  ⑥
由③⑥有

x

2

g R

=

Rg

，解得x=2R時(shí)，W_F最小，最小的功W_F=mg?2R+

1

2

m

v

2 C

=

5

2

mgR．                       
（3）由⑤式W_F=mg（

16R2+x2

8R

），W=Fx
則得  F=

1

8

mg（

16R

x

+

x

R

）                                                      
因

16R

x

＞0，x＞0，
由極值不等式有
當(dāng)

16R

x

=

x

R

時(shí)，即x=4R時(shí)，

16R

x

+

x

R

=8，最小的力F=mg．                       
答：（1）推力對(duì)小球所做的功是

mg(16R2+x2)

8R

．
（2）x等于2R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)所做的功最少，最小功為

5

2

mgR．
（3）x取4R時(shí)，完成上述運(yùn)動(dòng)用力最小，最小力為mg．

點(diǎn)評(píng)：本題要挖掘隱含的臨界條件：小球通過C點(diǎn)的最小速度為

gR

，由動(dòng)能定理求解F做功，再運(yùn)用數(shù)學(xué)不等式知識(shí)求解極值．