Question

18．光滑管狀軌道ABC由直軌道AB和圓弧形軌道BC組成，二都在B處相切并平滑連接，O為圓心，O、A在同一條水平線，OC豎起，一直徑略小于圓管直徑的質(zhì)量為m的小球，用細(xì)線穿過管道與質(zhì)量為M的物塊連接，將小球由A點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)小球運(yùn)動B處時細(xì)線斷裂，小球繼續(xù)運(yùn)動，已知弧形軌道的半徑為R=$\frac{8}{3}$m，所對應(yīng)的圓心角為53°，sin53°=0.8，g=10m/s²．
（1）若M=5m，求小球在直軌道部分運(yùn)動時的加速度大��；
（2）若M=5m，求小球在C點(diǎn)拋出后下落高度h=$\frac{4}{3}$m時到C點(diǎn)的水平位移；
（3）M、N滿足什么關(guān)系時，小球能夠運(yùn)動到C點(diǎn)？

Answer 1

分析 （1）對小球受力分析，根據(jù)牛頓第二定律可求得加速度大小；
（2）由幾何關(guān)系分析AB的長度，再由運(yùn)動學(xué)公式可求得B點(diǎn)的速度，再對BC過程由機(jī)械能守恒定律，離后C后的平拋運(yùn)動進(jìn)行分析，聯(lián)立可求得離開C后的水平位移；
（3）對小于由A到B的過程以及線斷后過程進(jìn)行分析，根據(jù)機(jī)械能守恒定律列式，聯(lián)立可求得M與m之間的關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)細(xì)線中張力為F，對小球：F-mgsin53°=ma      
對物塊：Mg-F=Ma              
聯(lián)立解得：a=7m/s²
（2）在Rt△OAB中，得：x_AB=$\frac{R}{tan53°}$；
由v²=2ax_AB代入數(shù)據(jù)解得：v=2$\sqrt{7}$m/s；
從B到C，根據(jù)機(jī)械能守恒，有：
$\frac{1}{2}$mv₂=$\frac{1}{2}$mv_C²+mgR（1-cos53°）
小球離開C后做平拋運(yùn)動，有：
x=v_Ct        
h=$\frac{1}{2}\\;g{t}^{2}$    
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：X=$\frac{4}{3}$m               
（3）小球A→B：M、m系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：
$\frac{1}{2}$（M+m）v²=Mgx_AB-mgx_ABsin53°
線斷后，小球B→C，
0-$\frac{1}{2}$mv²=-mg（1-cos53°）
聯(lián)立，解得：M $≥\frac{20}{7}$m．
答：（1）若M=5m，求小球在直軌道部分運(yùn)動時的加速度大小為7m/s²
（2）若M=5m，求小球在C點(diǎn)拋出后下落高度h=$\frac{4}{3}$m時到C點(diǎn)的水平位移$\frac{4}{3}$m；
（3）M、N滿足M $≥\frac{20}{7}$m時，小球能夠運(yùn)動到C點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題綜合考查機(jī)械能守恒、牛頓第二定律以及平拋運(yùn)動規(guī)律，此類問題一定注意做好受力分析以及過程分析，然后根據(jù)題意靈活選擇物理規(guī)律即可正確求解．