Question

13．據(jù)每日郵報2014年4月18日報道，美國國家航空航天局（NASA）目前宣布首次在太陽系外發(fā)現(xiàn)“類地”行星Kepler-186f．若宇航員乘坐宇宙飛船到達(dá)該行星，進(jìn)行科學(xué)觀測：該行星自轉(zhuǎn)周期為T；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放一個小球（引力視為恒力），落地時間為t．已知該行星半徑為R，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 宇宙飛船繞該星球做圓周運(yùn)動的周期小于$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$
• B． 該行星的平均密度為$\frac{3h}{{GπR{t^2}}}$
• C． 如果該行星存在一顆同步衛(wèi)星，其距行星表面高度為$\root{3}{{\frac{{h{T^2}{R^2}}}{{2{π^2}{t^2}}}}}$
• D． 該行星的第一宇宙速度為$\frac{{\sqrt{2hR}}}{t}$

Answer 1

分析 根據(jù)自由落體運(yùn)動求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力討論即可．

解答 解：宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h處自由釋放一個小球，根據(jù)自由落體運(yùn)動位移公式，有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得：g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$
A、根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力有：$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$，可得衛(wèi)星的周期T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，可知軌道半徑越小周期越小，衛(wèi)星的最小半徑為R，則周期最小值為${T_{min}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R^3}{GM}}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{R^3}{{g{R^2}}}}$═$πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故A錯誤；
B、由$G\frac{Mm}{R^2}=mg=m\frac{2h}{t^2}$，有：M=$\frac{2h{R}^{2}}{G{t}^{2}}$，所以星球的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{{\frac{{2h{R^2}}}{{G{t^2}}}}}{{\frac{4}{3}π{R^3}}}$=$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$，故B錯誤；
C、同步衛(wèi)星的周期與星球自轉(zhuǎn)周期相同故有：$\frac{GMm}{{{{（R+h）}^2}}}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}（R+h）$，代入數(shù)據(jù)解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故C錯誤；
D、星球的第一宇宙速度：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h}{{t}^{2}}•R}=\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故D正確；
故選：D

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是通過自由落體運(yùn)動求出星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動向心力和萬有引力等于重力求解．