Question

【題目】過山車是游樂場中常見的設(shè)施。圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內(nèi)的三個(gè)圓形軌道組成，B、C、D分別是三個(gè)圓形軌道的最低點(diǎn)，B、C間距與C、D間距相等，半徑＝2.0 m、＝1.4 m。一個(gè)質(zhì)量為m＝1. 0 kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)），從軌道的左側(cè)A點(diǎn)以＝12.0m/s的初速度沿軌道向右運(yùn)動(dòng)，A、B間距="6." 0 m。小球與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)="0." 2，圓形軌道是光滑的。假設(shè)水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取，計(jì)算結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字。試求

（1）小球在經(jīng)過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)時(shí)，軌道對小球作用力的大小；

（2）如果小球恰能通過第二個(gè)圓形軌道，B、C間距L應(yīng)是多少；

（3）在滿足（2）的條件下，如果要使小球不脫離軌道，在第三個(gè)圓形軌道的設(shè)計(jì)中，半徑應(yīng)滿足的條件；小球最終停留點(diǎn)與起點(diǎn)A的距離。

Answer 1

【答案】F="10.0" NL="12.5" m26.0 m。

【解析】

試題（1）（4分）設(shè)小于經(jīng)過第一個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)時(shí)的速度為v1根據(jù)動(dòng)能定理

①

小球在最高點(diǎn)受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律

②

由①②得③

（2）（4分）設(shè)小球在第二個(gè)圓軌道的最高點(diǎn)的速度為v2，由題意

④

⑤

由④⑤得⑥

（3）（4分）要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進(jìn)行討論：

I．軌道半徑較小時(shí)，小球恰能通過第三個(gè)圓軌道，設(shè)在最高點(diǎn)的速度為v3，應(yīng)滿足

⑦

⑧

由⑥⑦⑧得

II．軌道半徑較大時(shí)，小球上升的最大高度為R3，根據(jù)動(dòng)能定理

解得

為了保證圓軌道不重疊，R3最大值應(yīng)滿足

解得 R3=27.9m

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個(gè)圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或

當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L′，則

當(dāng)時(shí)，小球最終焦停留點(diǎn)與起始點(diǎn)A的距離為L〞，則