Question

如圖所示，在水平地面上，一條圓弧軌道與大小不同的兩個圓環(huán)軌道連接在一起，小環(huán)半徑為r，大環(huán)半徑是小環(huán)半徑的2倍．軌道內(nèi)側表面光滑．質(zhì)量為m的小球從A點處以某一初速度沿圓弧軌道向上滾動，到達最大高度后返回，在小環(huán)（底部稍錯開一些）內(nèi)側運動一周后，再進人大環(huán)內(nèi)側軌道，剛好能通過大環(huán)的最高點．不計空氣阻力，重力加速度為g，求：
（1）小球沿圓弧軌道向上滾動的過程中距地面的最大高度；
（2）小球通過小環(huán)的最高點時對小環(huán)的壓力大小．

Answer 1

（1）設小球恰好通過大環(huán)最高點的速度為v，由牛頓第二定律得：
mg=m

v2

2r

  ①
設小球沿圓弧軌道向上滾動的過程中距地面的最大高度為h，小球運動過程中機械能守恒，則有：
mgh=4mgr+

1

2

mv2  ②
由①②解得：h=5r
（2）設小球在小環(huán)最高點的速度為v₁，由機械能守恒定律得：
mgh=2mgr+

1

2

mv12③
根據(jù)牛頓第二定律得：
F+mg=m

v12

r

④
由③④解得：
F=5mg
由牛頓第三定律知球對小環(huán)壓力大小為F′=5mg．
答：（1）小球沿圓弧軌道向上滾動的過程中距地面的最大高度為5r；
（2）小球通過小環(huán)的最高點時對小環(huán)的壓力大小為5mg．