Question

10．如圖所示，電阻不計的兩光滑金屬導(dǎo)軌相距L，放在水平絕緣桌面上，半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧部分處在豎直平面內(nèi)，水平直導(dǎo)軌部分處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場中，末端與桌面邊緣平齊．兩金屬棒ab、cd垂直于兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好．棒ab質(zhì)量為2m，電阻為r，棒cd的質(zhì)量為m，電阻為r．重力加速度為g．開始時棒cd靜止在水平直導(dǎo)軌上，棒ab從圓弧頂端無初速度釋放，進(jìn)入水平直導(dǎo)軌后與棒cd始終沒有接觸并一直向右運(yùn)動，最后兩棒都離開導(dǎo)軌落到地面上．棒ab與棒cd落地點(diǎn)到桌面邊緣的水平距離之比為1：3．求：

（1）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時的速度大�。�
（2）棒cd在水平導(dǎo)軌上的最大加速度；
（3）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動，根據(jù)平拋運(yùn)動的規(guī)律和水平位移之比求解．
（2）ab棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時，cd棒受到的安培力最大，此時它的加速度最大．根據(jù)ab棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能定恒求解進(jìn)入磁場之前的速度大小，由E=BLv、I=$\frac{E}{2r}$、F=BIL結(jié)合求出安培力，即可由牛頓第二定律求解最大加速度．
（3）ab棒與cd棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動，根據(jù)根據(jù)動量定恒和能量定恒求解兩棒在軌道上運(yùn)動過程產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）ab棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時，cd棒受到的安培力最大，此時它的加速度最大．
設(shè)ab棒進(jìn)入水平導(dǎo)軌的速度為v₁，ab棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能定恒：
 2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv₁²
解得：v₁=$\sqrt{2gR}$ 
離開導(dǎo)軌時，設(shè)ab棒的速度為v₁′，cd棒的速度為v₂′，ab棒與cd棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動，棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時，設(shè)ab棒的速度為v₁′，cd棒的速度為v₂′．
由h=$\frac{1}{2}$gt²知兩棒離開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動的時間相等，由平拋運(yùn)動水平位移x=vt可知 v₁′：v₂′=x₁：x₂=1：3
即 v₁′=3v₂′
根據(jù)動量守恒得：
 2mv₁=2mv₁′+mv₂′
聯(lián)立解得 v₁′=$\frac{2}{7}$$\sqrt{2gR}$，v₂′=$\frac{6}{7}\sqrt{2gR}$
（2）ab棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時，設(shè)此時回路的感應(yīng)電動勢為E，
 E=BLv 
感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{2r}$ 
cd棒受到的安培力為：F_cd=BIL
根據(jù)牛頓第二定律，cd棒有最大加速度為
 a=$\frac{{F}_{cd}}{m}$ 
聯(lián)立解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$ 
（3）離開導(dǎo)軌時，設(shè)ab棒的速度為v₁′，cd棒的速度為v₂′，ab棒與cd棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動，棒ab和棒cd離開離開導(dǎo)軌時，設(shè)ab棒的速度為v₁′，cd棒的速度為v₂′．
由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$知兩棒離開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動的時間相等，由平拋運(yùn)動水平位移x=vt可知 v₁′：v₂′=x₁：x₂=1：3
即 v₁′=3v₂′
根據(jù)動量定恒得：
   2mv₁=2mv₁′+mv₂′
根據(jù)能量定恒，兩棒在軌道上運(yùn)動過程產(chǎn)生的焦耳熱為
  Q=$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{2}$-（$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{′2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{′2}$）
解得，Q=$\frac{6}{25}$mgR
答：
（1）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時的速度大小分別是$\frac{2}{7}$$\sqrt{2gR}$和$\frac{6}{7}\sqrt{2gR}$；
（2）棒cd在水平導(dǎo)軌上的最大加速度是$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gR}}{2mr}$；
（3）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動過程中產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{6}{25}$mgR．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)與電路、磁場、力學(xué)等知識的綜合應(yīng)用，根據(jù)牛頓第二定律求加速度，以及結(jié)合運(yùn)動學(xué)能夠分析出金屬棒的運(yùn)動情況．考查分析和處理綜合題的能力．