Question

19．利用彈簧彈射和傳送帶傳動(dòng)裝置可以將工件運(yùn)送至高處．如圖所示，已知傳送軌道平面與水平方向成37°角，傾角也是37°的光滑斜面軌道固定于地面且與傳送軌道良好對(duì)接，彈簧下端固定在斜面底端，工件與皮帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25．傳送帶傳動(dòng)裝置順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的速度v=4m/s，兩輪軸心相距L=5m，B、C 分別是傳送帶與兩輪的切點(diǎn)，輪緣與傳送帶之間不打滑．現(xiàn)將質(zhì)量m=1kg的工件放在彈簧上，用力將彈簧壓縮至A 點(diǎn)后由靜止釋放，工件離開斜面頂端滑到傳送帶上的B 點(diǎn)時(shí)速度v₀=8m/s，AB 間的距離s=1m．工件可視為質(zhì)點(diǎn)，g 取10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）彈簧的最大彈性勢(shì)能；
（2）工件沿傳送帶上滑的時(shí)間；
（3）若傳送裝置順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的速度v 可在v＞4m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)，試推導(dǎo)工件滑動(dòng)到C 點(diǎn)時(shí)的速度v_C 隨速度v 變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)工件離開斜面頂端滑到皮帶上的B點(diǎn)時(shí)速度v₀=8m/s，AB間的距離s=lm，通過能量守恒定律求出彈簧的最大彈性勢(shì)能．
（2）因?yàn)棣蹋紅an37°，當(dāng)工件速度減為傳送帶速度時(shí)，又以不同的加速度向上減速，根據(jù)牛頓第二定律求出兩次勻減速直線運(yùn)動(dòng)的加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出上滑的總時(shí)間．
（3）當(dāng)傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)，工件先以加速度a₁減速向上滑行，再以加速度a₂減速向上滑行，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出工件滑動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式．
當(dāng)傳送帶的速度v≥8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)，工件將沿傳送帶以加速度a₂減速滑行到C點(diǎn)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出工件滑動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式．

解答 解：（1）根據(jù)能量守恒定律得：
彈簧的最大彈性勢(shì)能為 E_p=mgssin37°+$\frac{1}{2}$mv₀²
解得 E_P=38J．
（2）工件沿傳送軌道減速向上滑動(dòng)的過程中有：mgsin37°+μmgcos37°=ma₁
解得 a₁=8m/s²．
從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與傳送帶共速需要的時(shí)間 t₁=$\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{1}}$=$\frac{8-4}{8}$s=0.5s．
工件滑行的位移大小 s₁=$\frac{{v}_{0}+v}{2}{t}_{1}$=$\frac{8+4}{2}×0.5$m=3m＜L．
因?yàn)棣蹋紅an37°，所以工件將沿傳送帶繼續(xù)減速上滑．
   mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
解得 a₂=4m/s²．
假設(shè)工件速度減為零時(shí)，工件未從傳送帶上滑落，則 t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{4}{4}$s=1s．
工件滑行的位移大小 s₂=$\frac{v}{2}{t}_{2}$=$\frac{4}{2}×1$=2m=L-s₁；
故假設(shè)成立，工件沿傳送帶上滑的時(shí)間 t=t₁+t₂=1.5s．
（3）當(dāng)傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)，工件先以加速度a₁減速向上滑行的位移為
   s₁′=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{1}}$．
當(dāng)速度減到v后又以加速度a₂減速向上滑行 L-s₁′=$\frac{{v}^{2}-{v}_{C}^{2}}{2{a}_{2}}$
解得，工件滑動(dòng)C點(diǎn)的速度v_C隨速度v的變化關(guān)系式 v_c=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$
當(dāng)傳送帶的速度v≥8m/s的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)時(shí)，工件將沿傳送帶以加速度a₂減速滑行到C點(diǎn)
   v_c²-v₀²=2a₂L
工件滑動(dòng)到C點(diǎn)的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式 v_c=2$\sqrt{6}$m/s．
答：
（1）彈簧的最大彈性勢(shì)能為38J．
（2）工件沿傳送帶上滑的時(shí)間為1.5s．
（3）當(dāng)傳送帶速度在4m/s＜v＜8m/s時(shí)，工件滑動(dòng)C點(diǎn)的速度v_C隨速度v的變化關(guān)系式為v_c=$\sqrt{\frac{{v}^{2}}{2}-8}$，當(dāng)傳送帶的速度v≥8m/s時(shí)，工件滑動(dòng)到C點(diǎn)的速度v_c隨速度v變化的關(guān)系式為v_c=2$\sqrt{6}$m/s．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清工件的運(yùn)動(dòng)情況，注意分析工件與傳送帶速度相同時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行研究．