Question

如圖所示，在以O(shè)為圓心，半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)，有一個(gè)水平方向的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向外．豎直平行正對放置的兩金屬板A、K連在電壓可調(diào)的電路中． S₁、S₂為A、K板上的兩個(gè)小孔，且S₁、S₂和O在同一直線上，另有一水平放置的足夠大的熒光屏D，O點(diǎn)到熒光屏的距離h．比荷（電荷量與質(zhì)量之比）為k的帶正電的粒子由S₁進(jìn)入電場后，通過S₂射向磁場中心，通過磁場后落到熒光屏D上．粒子進(jìn)入電場的初速度及其所受重力均可忽略不計(jì)．
（1）求粒子垂直打到熒光屏上M點(diǎn)時(shí)速度的大��；
（2）調(diào)節(jié)滑片P，使粒子打在熒光屏上N點(diǎn)，MN=

3

/3h（如圖所示），求此時(shí)A、K兩極板間的電壓．

Answer 1

分析：粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后，沿直線運(yùn)動(dòng)到熒光屏，粒子偏轉(zhuǎn)的角度為90°，做出粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡，找到粒子圓周運(yùn)動(dòng)的半徑恰好等于磁場半徑，根據(jù)牛頓第二定律解出粒子打到極板上的速度；粒子打到N點(diǎn)時(shí)可以通過圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式和幾何關(guān)系求得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理解出加速電場的電壓．

解答：解：（1）設(shè)粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，垂直打在熒光屏上的M點(diǎn)時(shí)的速度為v₁，粒子垂直打在熒光屏上，說明粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)是四分之一圓周，
運(yùn)動(dòng)半徑：r₁=R

根據(jù)牛頓第二定律：Bqv₁=m

v 2 1

r1

依題意：k=

q

m

 解得：v₁=BkR 
（2）設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)軌道半徑為r₂，偏轉(zhuǎn)角為2θ，粒子射出磁場時(shí)的方向與豎直方向夾角為α，粒子打到N點(diǎn)時(shí)的軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可知

tanα=

MN

h

=

3

3

，α=30°，θ=30°
tanθ=

R

r2

解得：r₂=

3

R
設(shè)此時(shí)A、K兩極板間的電壓為U，設(shè)粒子離開S₂時(shí)的速度為v₂，
根據(jù)牛頓第二定律：Bqv₂=m

v 2 2

r2

根據(jù)動(dòng)能定理有   qU=

1

2

m

v

2 2

解得：U=

3

2

kB2R2
答：（1）粒子垂直打到熒光屏上M點(diǎn)時(shí)速度的大小為BkR；
（2）此時(shí)A、K兩極板間的電壓為U=

3

2

kB2R2．

點(diǎn)評：本題主要考查了帶電粒子在混合場中運(yùn)動(dòng)的問題，要求同學(xué)們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況，熟練掌握圓周運(yùn)動(dòng)及牛頓第二定律公式．