Question

如圖所示，兩根間距為L的金屬導軌MN和PQ，電阻不計，左端彎曲部分光滑，水平部分導軌與導體棒間的滑動摩擦因數(shù)為μ，水平導軌左端有寬度為d、方向豎直向上的勻強磁場Ⅰ，右端有另一磁場Ⅱ，其寬度也為d，但方向豎直向下，兩磁場的磁感強度大小均為B₀，相隔的距離也為d．有兩根質量為m、電阻均為R的金屬棒a和b與導軌垂直放置，b棒置于磁場Ⅱ中點C、D處．現(xiàn)將a棒從彎曲導軌上某一高處由靜止釋放并沿導軌運動下去．
（1）當a棒在磁場Ⅰ中運動時，若要使b棒在導軌上保持靜止，則a棒剛釋放時的高度應小于某一值h₀，求h₀的大�。�
（2）若將a棒從彎曲導軌上高度為h（h＜h₀）處由靜止釋放，a棒恰好能運動到磁場Ⅱ的左邊界處停止，求a棒克服安培力所做的功；
（3）若將a棒仍從彎曲導軌上高度為h（h＜h₀）處由靜止釋放，為使a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，可讓磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間而變化，將a棒剛進入磁場Ⅰ的時刻記為t=0，此時磁場Ⅱ的磁感應強度為B₀，試求出在a棒通過磁場Ⅰ的這段時間里，磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化的關系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)b棒受力平衡求出電流的大小，通過閉合電路歐姆定律求出感應電動勢的大小，從而求出a棒的速度，根據(jù)機械能守恒定律求出a棒下降的高度．
（2）在運動的過程中，b棒不動，根據(jù)能量守恒定律求出整個過程克服安培力所做的功．
（3）棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，說明感應電動勢為零，即整個回路中的磁通量不變．a棒進入磁場做勻減速直線運動，b棒靜止，根據(jù)磁通量不變求出磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化的關系式．

解答：解：（1）因為a棒進入磁場Ⅰ后做減速運動，所以只要剛進入時b棒不動，b就可以靜止不動．對a棒：由機械能守恒：mgh₀=

1

2

m₀²，
對回路：ε=BLv₀，I=

ε

2R

對b棒：BIL=μmg
聯(lián)立解得：h₀=

2μ2m2gR2

B4L4

（2）由全過程能量守恒與轉化規(guī)律：mgh=μmg2d+W_克A
解得：W_克A=mgh-μmg2d
（3）a棒通過磁場Ⅰ時恰好無感應電流，說明感應電動勢為零，根據(jù)法拉第電磁感應定律ε=

△Φ

△t

，在△t≠0的前提下，△Φ=0即Φ保持不變
對a棒：由機械能守恒：mgh=

1

2

mv²
a棒進入磁場Ⅰ后，由牛頓第二定律得：a=μg
經(jīng)過時間t，a棒進入磁場Ⅰ的距離為x=vt-

1

2

at²
磁通量Φ=B₀（d-x）L-B

d

2

L
又最初磁通量為Φ₀=B₀dL-B₀

d

2

L=

1

2

B₀dL=Φ
聯(lián)立解得：B=B₀-

2B0

d

(

2ght

-

1

2

μgt2)．
答：（1）h₀的大小為

2μ2m2gR2

B4L4

．
（2）a棒克服安培力所做的功為mgh-μmg2d．
（3）磁場Ⅱ的磁感應強度隨時間變化的關系式B=B₀-

2B0

d

(

2ght

-

1

2

μgt2)．

點評：本題綜合考查了機械能守恒定律、能量守恒定律、法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律等，綜合性較強，對學生能力要求較高，需加強這方面的訓練．