Question

5．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，粗糙的斜面軌道AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD相切于B點(diǎn)，C是最低點(diǎn)，圓心角∠BOC=37°，D與圓心O等高，圓弧軌道半徑R=1.0m，現(xiàn)有一個質(zhì)量為m=0.2kg可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體，從D點(diǎn)的正上方E點(diǎn)處自由下落，DE距離h=1.6m，物體與斜面AB之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．取sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度L_AB至少要多長；
（2）若斜面已經(jīng)滿足（1）要求，物體從E點(diǎn)開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運(yùn)動，在此過程中系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量Q的大小．

Answer 1

分析 （1）要使物體不飛出，則到達(dá)A點(diǎn)時速度恰為零，則由動能定理可求得AB的長度；
（2）由于摩擦力小于重力的分力，則物體不會停在斜面上，故最后物體將穩(wěn)定在C為中心的圓形軌道上做往返運(yùn)動，由功能關(guān)系可求得熱量Q．

解答 解：（1）從E～D～C～B～A過程，由動能定理得：
W_G-W_f=0                           
W_G=mg[（h+Rcos37°）-L_ABsin37°]
W_f=μmgcos37°LAB                  
聯(lián)立以上三式解得：
斜面長度至少為：L_AB=2.4m       
（3）因?yàn)閙gsin37°＞μmgcos37°（或μ＜tan37°）
所以，物體不會停在斜面上．物體最后以C為中心，B為一側(cè)最高點(diǎn)沿圓弧軌道做往返運(yùn)動．
從E點(diǎn)開始直至穩(wěn)定，系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量
Q=△E_P                         
△E_P=mg（h+Rcos37°）    
解得Q=4.8J   
在運(yùn)動過程中產(chǎn)生熱量為4.8J．
答：（1）要使物體不從斜面頂端飛出，斜面的長度L_AB至少為2.4m；
（2）若斜面已經(jīng)滿足（1）要求，物體從E點(diǎn)開始下落，直至最后在光滑圓弧軌道做周期性運(yùn)動，在此過程中系統(tǒng)因摩擦所產(chǎn)生的熱量Q的大小為4.8J．

點(diǎn)評 在考查力學(xué)問題時，常常將動能定理、機(jī)械能守恒及牛頓第二定律等綜合在一起進(jìn)行考查，并且常常綜合平拋、圓周運(yùn)動及勻變速直線運(yùn)動等運(yùn)動的形式．