Question

13．如圖所示，某一在豎直平面內(nèi)的軌道由傾斜軌道AB、水平軌道BC、圓軌道及水平軌道CD平滑連接而成．軌道AB與水平方向夾角θ=60°，長(zhǎng)度L₁=$\frac{9}{5}$$\sqrt{3}$m，軌道BC長(zhǎng)度L₂=$\frac{\sqrt{3}}{2}$m．D點(diǎn)離水平地面EF的高度h=0.9m．現(xiàn)將一個(gè)小球從A點(diǎn)由靜止釋放．假定軌道阻力可忽略不計(jì)，g取10m/s²．求：
（1）小球滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小v_C；
（2）若圓軌道半徑R=1m，小球在地面EF上的落點(diǎn)離D點(diǎn)的水平距離；
（3）要使小球始終不脫離圓軌道，求圓軌道半徑R應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）對(duì)A到C運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒，即可求解；
（2）由機(jī)械能守恒求得在D的速度，然后根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律球兒水平位移；
（3）由機(jī)械能守恒求得在最高點(diǎn)的速度，然后應(yīng)用牛頓第二定律即可．

解答 解：（1）小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力做功，故機(jī)械能守恒，則有：$mg{L}_{1}sinθ=\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{2g{L}_{1}sinθ}=3\sqrt{6}m/s$；
（2）設(shè)小球可通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)，在圓軌道最高點(diǎn)速度為v，由機(jī)械能守恒可得：$mg（{L}_{1}sinθ-2R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：$\frac{m{v}^{2}}{R}=\frac{2mg（{L}_{1}sinθ-2R）}{R}=1.4mg＞mg$，故小球可以通過(guò)最高點(diǎn)；
由機(jī)械能守恒可得：${v}_{D}={v}_{C}=3\sqrt{6}m/s$
小球從D點(diǎn)拋出做平拋運(yùn)動(dòng)，故有：$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
小球在地面EF上的落點(diǎn)離D點(diǎn)的水平距離為：$x={v}_{D}t={v}_{D}\sqrt{\frac{2h}{g}}=\frac{9\sqrt{3}}{5}m$；
（3）要使小球始終不脫離圓軌道，那么在最高點(diǎn)的向心力不小于重力，由（2）可得：$\frac{2mg（{L}_{1}sinθ-2R）}{R}≥mg$
解得：$R≤\frac{27}{25}m$；
答：（1）小球滑過(guò)C點(diǎn)時(shí)的速度大小v_C為$3\sqrt{6}m/s$；
（2）若圓軌道半徑R=1m，小球在地面EF上的落點(diǎn)離D點(diǎn)的水平距離為$\frac{9\sqrt{3}}{5}m$；
（3）要使小球始終不脫離圓軌道，圓軌道半徑R應(yīng)不大于$\frac{27}{25}m$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．