Question

3．現(xiàn)有一根長(zhǎng)為3R，勁度系數(shù)為k=$\frac{mg}{R}$的輕彈簧，其一端固定于O點(diǎn)，另一端系一個(gè)質(zhì)量為m的小環(huán)套在光滑豎直橢圓軌道上．且O點(diǎn)為橢圓的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，長(zhǎng)軸在豎直方向上AB=4R，短軸在水平方向上CD=3R，小環(huán)處在軌道的最低點(diǎn)A處，如圖所示．已知小環(huán)沿軌道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧給終處于彈性限度內(nèi)，現(xiàn)給小球一水平初速度v₀使其沿軌道運(yùn)動(dòng)．若重力加速度為g，則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 小環(huán)運(yùn)動(dòng)到軌道最高點(diǎn)處，軌道對(duì)環(huán)的作用力豎直向上
• B． 小環(huán)沿軌道由A向D的過(guò)程中速度逐漸減小
• C． 欲使小環(huán)能越過(guò)最高點(diǎn)B，其最小射出速度應(yīng)為4$\sqrt{gR}$
• D． 若v₀=6$\sqrt{gR}$，則小環(huán)通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)環(huán)的作用力豎直向下

Answer 1

分析 根據(jù)胡克定律，結(jié)合向心力分析小球在B點(diǎn)的受力；根據(jù)功能關(guān)系關(guān)系小球從A到D的過(guò)程中小球的動(dòng)能、速度的變化；結(jié)合機(jī)械能守恒分析小球過(guò)最高點(diǎn)B的條件；
結(jié)合機(jī)械能守恒先求出小球在最高點(diǎn)的速度，然后結(jié)合受力分析判斷出小球在最高點(diǎn)受到的環(huán)的作用力的方向．

解答 解：A、由題意和幾何關(guān)系可知，AO=BO=2R，CO=DO=1.5R
根據(jù)胡克定律，小球在A點(diǎn)與B點(diǎn)受到的彈力都是向外，大�。�${F}_{1}=k•（3R-2R）=\frac{mg}{R}•R=mg$
由于彈簧對(duì)小球的作用力的大小與重力大小相等，方向與重力的方向相反，所以小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由環(huán)提供，所以環(huán)對(duì)小球的作用力的方向?yàn)樨Q直向下．故A錯(cuò)誤；
B、由題，小球從A向D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中彈簧繼續(xù)壓縮，所以挺好的彈性勢(shì)能增大；小球向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中重力勢(shì)能也增大，所以小球的動(dòng)能一定越來(lái)越小，所以小環(huán)沿軌道由A向D的過(guò)程中速度逐漸減小．故B正確；
C、由于BO=AO，所以小球在B點(diǎn)的彈性勢(shì)能等于小球在A點(diǎn)的彈性勢(shì)能；小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒，取小球的最低點(diǎn)的重力勢(shì)能為0，則：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR$
當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度恰好等于0時(shí)，小球的初速度最小，所以小球的最小初速度：${v}_{0min}=2\sqrt{gR}$
小球在A點(diǎn)的彈性勢(shì)能：${E}_{PA}=\frac{1}{2}k△{x}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{mg}{R}×{R}^{2}=\frac{1}{2}mgR$
小球在D點(diǎn)的彈性勢(shì)能：${E}_{PD}=\frac{1}{2}k△{x}_{2}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{mg}{R}×（1.5{R）}^{2}$=$\frac{9}{8}mgR$
小球恰好從A到D的過(guò)程中：$\frac{1}{2}mgR+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{9}{8}mgR+0$
所以：${v}_{0}′=\frac{1}{2}\sqrt{5gR}$＜v_0min
所以欲使小環(huán)能越過(guò)最高點(diǎn)B，其最小射出速度應(yīng)為2$\sqrt{gR}$．故C錯(cuò)誤；
D、若v₀=6$\sqrt{gR}$，則小環(huán)通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR$
所以：$v=4\sqrt{2gR}$＞0
結(jié)合A的分析可知，軌道對(duì)環(huán)的作用力豎直向下．故D正確．
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 該題涉及到的指示點(diǎn)較多，解答中要注意一下幾點(diǎn)：
1、正確的對(duì)物體進(jìn)行受力分析，計(jì)算出沿半徑方向上的合外力，利用向心力公式進(jìn)行列式．
2、注意臨界狀態(tài)的判斷，知道臨界狀態(tài)下受力特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)．
3、熟練的判斷機(jī)械能守恒的條件，能利用機(jī)械能守恒進(jìn)行列式求解．