Question

如圖所示，傳送帶以v為7

2

m/s速度向左勻速運(yùn)行，DE段長(zhǎng)L為4m，半徑R為1.8m的光滑半圓弧槽在D點(diǎn)與水平傳送帶相切，半圓弧槽末端D點(diǎn)靜止放置一質(zhì)量m₂為0.4kg的小滑塊Q，一質(zhì)量m₁為0.2kg的小滑塊P從C處無(wú)初速度滑下，到達(dá)最底端與小滑塊發(fā)生彈性正碰，兩滑塊都可以視為質(zhì)點(diǎn)，且與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ均為0.5，g取10m/s²，不計(jì)小滑塊通過(guò)連接處的能量損失．求：
（1）小滑塊P從C處無(wú)初速度滑下，到軌道底端D碰撞剛結(jié)束的瞬間速度
（2）小滑塊Q第一次碰撞后向右運(yùn)動(dòng)的最大距離以及此過(guò)程產(chǎn)生的熱量
（3）移走小滑塊Q，將小滑塊P無(wú)初速度放在傳送帶E端，要使小滑塊能通過(guò)A點(diǎn)，傳送帶DE段至少為多長(zhǎng)？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小滑塊P到達(dá)底端D時(shí)的速度．對(duì)于P、Q碰撞過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒列式，求解碰撞剛結(jié)束的瞬間P和Q的速度．
（2）小滑塊Q滑上傳送帶先向右做勻減速運(yùn)動(dòng)到0，然后向左做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，可知當(dāng)速度減小為0時(shí)，向右運(yùn)動(dòng)的距離最大．根據(jù)動(dòng)能定理求出向右運(yùn)動(dòng)的最大距離．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，求出這段時(shí)間內(nèi)傳送帶的位移，從而得出滑塊相對(duì)于傳送帶的位移，根據(jù)Q=fx_相求出此過(guò)程中的熱量．
（3）要使小滑塊能通過(guò)E點(diǎn)，臨界情況是通過(guò)N點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)滑塊的彈力為0，有mg=m

v2

R

，求出E點(diǎn)的臨界速度，然后根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出D點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出傳送帶的最小長(zhǎng)度．

解答：解：（1）小滑塊P從C處到軌道底端D，根據(jù)能量守恒定律：m₁gR（1-cos60°）=

1

2

m1

v

2 0

解得：v₀=

gR

=3

2

m/s
P、Q在D處發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒和能量守恒得：
  m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
 

1

2

m₁v₀²=

1

2

m₁v₁²+

1

2

m₂v₂²
解得：v₁=-

2

m/s，v₂=2

2

m/s
即碰撞剛結(jié)束P的瞬時(shí)速度為

2

m/s，方向向左．
（2）小滑塊Q做勻減速運(yùn)動(dòng)至停止時(shí)距離最大，由動(dòng)能定理得：
-μm₂gx=-

1

2

m₂v₂²，
向右運(yùn)動(dòng)的距離最大為x=0.8m，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

2x

v2

=

2×0.8

2 2

=0.4

2

s
則：x_相=vt+

1

2

v2t=6.4m，產(chǎn)生的熱量為Q=μm₂gx_相=12.8J
（3）小滑塊P恰能通過(guò)A點(diǎn)，由向心力公式得：m₁g=m₁

v 2 A

R

小滑塊P從D到A，由動(dòng)能定理得：-2m₁gR=

1

2

m₁v_A²-

1

2

m₁v_D²
則：v_D=

5gR

=3

10

m/s＜7

2

m/s
則P一直在傳送帶DE段加速，且末速度恰為3

10

m/s，傳送帶最短，
由動(dòng)能定理得：μm₁gx′=

1

2

m₁v_D²
傳送帶至少為：x′=

v 2 0

2μg

=9m
答：
（1）小滑塊P從C處無(wú)初速度滑下，到軌道底端D碰撞剛結(jié)束的瞬間速度為

2

m/s．
（2）小滑塊Q第一次碰撞后向右運(yùn)動(dòng)的最大距離為6.4m，此過(guò)程產(chǎn)生的熱量為12.8J．
（3）移走小滑塊Q，將小滑塊P無(wú)初速度放在傳送帶E端，要使小滑塊能通過(guò)A點(diǎn)，傳送帶DE段至少為9m．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵能夠熟練運(yùn)用機(jī)械能守恒定律，掌握摩擦產(chǎn)生熱量的功能關(guān)系式Q=fx_相，以及知道通過(guò)N點(diǎn)的臨界情況是軌道的彈力為零，重力沿半徑方向的分力提供向心力．