(20分)一個(gè)質(zhì)量為m1的廢棄人造地球衛(wèi)星在離地面h=800km高空作圓周運(yùn)動(dòng),在某處和一個(gè)質(zhì)量為m2=的太空碎片發(fā)生迎頭正碰,碰撞時(shí)間極短,碰后二者結(jié)合成一個(gè)物體并作橢圓運(yùn)動(dòng)。碰撞前太空碎片作橢圓運(yùn)動(dòng),橢圓軌道的半長(zhǎng)軸為7500km,其軌道和衛(wèi)星軌道在同一平面內(nèi)。已知質(zhì)量為m的物體繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí),其總能量即動(dòng)能與引力勢(shì)能之和,式中G是引力常量,M是地球的質(zhì)量,a為橢圓軌道的半長(zhǎng)軸.設(shè)地球是半徑R=6371km的質(zhì)量均勻分布的球體,不計(jì)空氣阻力。資.源.網(wǎng)
(i)試定量論證碰后二者結(jié)合成的物體會(huì)不會(huì)落到地球上。.考.資.源.網(wǎng)
(ii)如果此事件是發(fā)生在北級(jí)上空(地心和北極的連線方向上),碰后二者結(jié)合成的物體與地球相碰處的緯度是多少?
解析:
(i)圖1為衛(wèi)星和碎片運(yùn)行軌道的示意圖。以v1表示碰撞前衛(wèi)星作圓周運(yùn)動(dòng)的速度,以M表示地球E的質(zhì)量,根據(jù)萬有引力定律和牛頓定律有
(1)
式中G是引力常量.由(l)式得
(2)高.考.資.源.網(wǎng)
以v2表示剛要碰撞時(shí)太空碎片的速度,因?yàn)榕c衛(wèi)星發(fā)生碰撞時(shí),碎片到地心的距離等于衛(wèi)星到地心的距離,根據(jù)題意,太空碎片作橢圓運(yùn)動(dòng)的總能量
(3)
式中a為橢圓軌道的半長(zhǎng)軸.由(3)式得
(4)
衛(wèi)星和碎片碰撞過程中動(dòng)量守恒,有
m1v1-m2v2=(m1+m2)v (5)
這里v是碰后二者結(jié)合成的物體(簡(jiǎn)稱結(jié)合物)的速度.由(5)式得
(6)
由(2)、(4)、(6)三式并代人有關(guān)數(shù)據(jù)得
(7)
結(jié)合物能否撞上地球,要看其軌道(橢圓)的近地點(diǎn)到地心的距離rmin,如果rmin<R,則結(jié)合物就撞上地球.為此我們先來求結(jié)合物軌道的半長(zhǎng)軸a '。結(jié)合物的總能量
(8)
代人有關(guān)數(shù)據(jù)得 a '=5259km (9)
結(jié)合物軌道的近地點(diǎn)到地心的距離
rmin=2 a '-(R+h)=3347km<R (10)
據(jù)此可以判斷,結(jié)合物最后要撞上地球。
(ii)解法一
在極坐標(biāo)中討論,取極坐標(biāo),坐標(biāo)原點(diǎn)在地心處,極軸由北極指向南極,如圖2所示。碰撞點(diǎn)在北極上空,是橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn),結(jié)合物軌道的橢圓方程
(11)
式中e是偏心率,p是橢圓的半正焦弦,遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離
rmax=R+h (12)
由解析幾何有
(13)
在軌道的近地點(diǎn),r=rmin,θ=0,由(11)式得
p=rmin(1+e)(=4563km) (14)
或有
p=rmax (1-e) (15)
在結(jié)合物撞擊地球處;r= R,由(11)式有
(16)
或 (17)
代人有關(guān)數(shù)據(jù)可得
cosθ=-0.7807 (18)
θ=141.320 (19)
這是在北緯51.320 。
評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):本題20分。
第(i)小題12分.(1)或(2)、(3)或(4)、(5)或(6)式各2 分,(8)式3分,(10)式3分。第(ii)小題8分。(11)、(12)、(13)、(14)或(15)、(16)或(17)式各l分,(19)式2分(答案在1410到1420之間的都給2分),正確指出緯度給l分。
解法二
在直角坐標(biāo)中討論.取直角坐標(biāo)系,以橢圓的對(duì)稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,x軸通過近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)并由遠(yuǎn)地點(diǎn)指向近地點(diǎn),如圖3所示。結(jié)合物軌道的橢圓方程是
(20)
式中a'、b'分別為結(jié)合物橢圓軌道的半長(zhǎng)軸和半短軸。遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離
rmax=R+h (21)
根據(jù)解析幾何,若c為地心與坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離,
c= rmax-a'(=1912km) (22)
而 (23)
注意到a'由(9)式給出,得
b'=4899km (24)
結(jié)合物撞擊地面處是結(jié)合物的橢圓軌道與地面的交點(diǎn),設(shè)該處的坐標(biāo)為xp和yp,則有
xp=Rcosθ+c (25)
yp=Rsinθ (26)
式中θ為從地心指向撞擊點(diǎn)的矢經(jīng)與x方向的夾角.因撞擊點(diǎn)在結(jié)合物的軌道上,將(24)、(25)式代入軌道方程(20)式,經(jīng)整理得
(27)
引人以下符號(hào)并代人有關(guān)數(shù)據(jù)得
高.考.資.源.網(wǎng)
ht
高.考.資.源.網(wǎng)
代入(27)式得
(28)
解得 (29)
舍掉不合理的答案,得
cosθ=-0.7807 (30)
θ=141.320 (31)
這是在北緯51.320 。
評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):
(20)、(21)、(22)、(23)或(24)、(27)式各l分,(31)式2分(答案在1410到1420之間的都給2分),正確指出緯度給1 分。
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