Question

如圖所示，一塊質(zhì)量為M=2kg，長為L的均質(zhì)板靜止在很長的光滑水平桌面上，板的左端靜止擺放質(zhì)量為m=1kg的小物體（可視為質(zhì)點），M和m之間的為動摩擦因數(shù)為μ=0.2．在小物體m上的O點連接一根很長的輕質(zhì)細(xì)繩，細(xì)繩跨過位于桌邊的定滑輪．t=0s時刻某人以恒定拉力F=3.3N向下拉繩，t₁=2s時刻細(xì)繩突然從O處斷開，最后小物體m剛好能到長木板M的最右端（定滑輪光滑，長木板右端和定滑輪之間的距離足夠長，g取10m/s²）．求：
（1）細(xì)繩沒斷開時，M和m的加速度各是多少？
（2）當(dāng) m到達(dá)長木板M右端以后M的速度是多少？
（3）長木板M的長度L是多少？

Answer 1

分析：（1）細(xì)繩沒斷開時，m所受的合力等于拉力與滑動摩擦力的合力，M所受的合力等于m對它的滑動摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律求解加速度．
（2）由速度公式求出細(xì)繩從O處斷開時兩物體的速度．細(xì)繩斷開后，兩物體組成的系統(tǒng)合外力為零，動量守恒，則動量守恒定律求解m到達(dá)長木板M右端以后M的速度．
（3）長木板M的長度L等于m相對于M運動的位移大小，分別根據(jù)運動學(xué)公式和能量守恒定律求出細(xì)繩斷開前后相對位移，再求板長．

解答：解：
（1）細(xì)繩沒斷開時，兩物體受力如圖．根據(jù)牛頓第二定律得
   對m：F-μmg=ma₁，得到a₁=1.3m/s²．
   對M：f=Ma₂，得到a₂=

μmg

M

=1m/s²．

（2）t₁=2s時刻細(xì)繩突然從O處斷開時，兩物體的速度分別為
對m：v₁=a₁t=2.6m/s，
對M：v₂=a₂t=2m/s．
細(xì)繩斷開后，兩物體組成的系統(tǒng)動量守恒，設(shè)m到達(dá)長木板M右端以后M的速度為V．則有
   mv₁+Mv₂=（M+m）V
得到V=

mv1+Mv2

M+m

=2.2m/s．
（3）在細(xì)繩斷開前，兩物體相對位移大小為x₁=

1

2

a1t2-

1

2

a2t2
在細(xì)繩斷開后，兩物體相對位移大小為x₂．根據(jù)能量守恒定律得
μmgx₂=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

-

1

2

(M+m)V2
所以長木板M的長度L=x₁+x₂
代入解得L=0.66m．
答：（1）細(xì)繩沒斷開時，M和m的加速度分別是1.3m/s²和1m/s²．
    （2）當(dāng)m到達(dá)長木板M右端以后M的速度是2.2m/s．
    （3）長木板M的長度L是0.66m．

點評：本題是較為復(fù)雜的動力學(xué)問題，本題采用牛頓定律、運動學(xué)公式、動量守恒定律和能量守恒結(jié)合求解的，也可以就根據(jù)牛頓定律和運動學(xué)公式求解．