Question

10．如圖所示斜面AB和豎直光滑的半圓弧軌道在B點(diǎn)相切，圓弧直徑BC與斜面垂直，O為圓心，圓軌道半徑R=0.5m，輕質(zhì)彈簧的一端固定在A點(diǎn)、處于自然狀態(tài)時(shí)另一端在斜面上的D點(diǎn)，斜面AD部分光滑，DB部分粗糙斜，斜面傾角θ=53°，一質(zhì)量m=1kg的小物塊以初速度v_c從C點(diǎn)沿圓弧切線進(jìn)入軌道，小物塊恰能沿軌道運(yùn)動(dòng)并壓縮彈簧至P點(diǎn)時(shí)速度為0，DP兩點(diǎn)間的距離S=0.2m，sin53°=0.8，cos53°=0.6，g取10m/s²．
（1）若小物塊第一次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度為V_d=6m/s，求彈簧被壓縮到P點(diǎn)時(shí)的彈性性能E；
（2）求小物塊的初速度v₀；
（3）若BD間距L=2.5m，為使小物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終不會(huì)離開(kāi)軌道，求小物塊與斜面DB間的動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值μ．

Answer 1

分析 （1）從D到P，物塊的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，根據(jù)功能關(guān)系列式求解即可；
（2）小物塊恰好沿軌道運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明在O點(diǎn)正上方的最高點(diǎn)（設(shè)為E），正好有重力提供向心力，設(shè)速度為v，則有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$；
從C到E，根據(jù)機(jī)械能守恒可求出C點(diǎn)的速度；
（3）過(guò)O點(diǎn)做水平線交圓弧與F點(diǎn)．要讓小球不離開(kāi)軌道，則小球到達(dá)F點(diǎn)速度為零，或者小球沿圓弧能夠做位置的圓周運(yùn)動(dòng)，而根據(jù)題目說(shuō)開(kāi)始恰好經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)E，則返回時(shí)由于在BD間要克服摩擦力做功，因此不可能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，故小球不離開(kāi)軌道，則最高只能到F點(diǎn)，且速度為零，然后根據(jù)能量守恒定律，確定摩擦因數(shù)的最小值．

解答 解：（1）從D到P，物塊的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，根據(jù)功能關(guān)系，有：
E=$\frac{1}{2}$mv_d²+mgSsin53°=$\frac{1}{2}×1×{6}^{2}+1×10×0.2×0.8$=19.6J
（2）小物塊恰好沿軌道運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)，有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
從C到E，根據(jù)機(jī)械能守恒，有：
-mgR（1-cos53°）=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
聯(lián)立解得：
v₀=$\sqrt{gR（3-2cos53°）}$=$\sqrt{10×0.5×（3-2×0.6）}$=3m/s
（3）對(duì)從開(kāi)始到與圓心等高點(diǎn)過(guò)程，根據(jù)功能關(guān)系，有：
mg（2Rcos53°）-2μmgcos53°L=0
解得：
μ=$\frac{R}{L}$=$\frac{0.5m}{2.5m}=0.2$
答：（1）若小物塊第一次經(jīng)過(guò)D點(diǎn)的速度為V_d=6m/s，彈簧被壓縮到P點(diǎn)時(shí)的彈性性能E為19.6J；
（2）小物塊的初速度v₀為3m/s；
（3）若BD間距L=2.5m，為使小物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終不會(huì)離開(kāi)軌道，小物塊與斜面DB間的動(dòng)摩擦因數(shù)的最小值為0.2．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確滑塊的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況和能量轉(zhuǎn)化情況，然后結(jié)合動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、功能關(guān)系、牛頓第二定律和向心力公式列式求解，不難．