Question

如圖所示，M、N為兩塊帶等量異種電荷的平行金屬板，S₁、S₂為板上正對(duì)的小孔，N板右側(cè)有兩個(gè)寬度均為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，方向分別垂直于紙面向里和向外，磁場(chǎng)區(qū)域右側(cè)有一個(gè)熒光屏，取屏上與S₁、S₂共線的O點(diǎn)為原點(diǎn)，向下為正方向建立x軸．板左側(cè)電子槍發(fā)射出的熱電子經(jīng)小孔S₁進(jìn)入兩板間，電子的質(zhì)量為m，電荷量為e，初速度可以忽略．
求：（1）當(dāng)兩板間電勢(shì)差為U₀時(shí)，求從小孔S₂射出的電子的速度v₀；
（2）兩金屬板間電勢(shì)差U在什么范圍內(nèi)，電子不能穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域而打到熒光屏上；
（3）電子打到熒光屏上的位置坐標(biāo)x和金屬板間電勢(shì)差U的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

分析：帶電粒子在電場(chǎng)中被直線加速，由動(dòng)能定理可求出粒子被加速后的速度大小，當(dāng)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子能打在熒光屏上離O點(diǎn)最遠(yuǎn)，則粒子必須從磁場(chǎng)中垂直射出，由于粒子已是垂直射入磁場(chǎng)，所以由磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相反且寬度相同得粒子在兩種磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡是對(duì)稱的，在磁場(chǎng)中正好完成半個(gè)周期，則運(yùn)動(dòng)圓弧的半徑等于磁場(chǎng)寬度．若不能打到熒光屏，則半徑須小于磁場(chǎng)寬度，粒子就不可能通過(guò)左邊的磁場(chǎng)，也就不會(huì)打到熒光屏．所以運(yùn)動(dòng)圓弧的半徑大于或等于磁場(chǎng)寬度是粒子打到熒光屏的前提條件． 可設(shè)任一圓弧軌道半徑，由幾何關(guān)系可列出與磁場(chǎng)寬度的關(guān)系式，再由半徑公式與加速公式可得出打到熒光屏上的位置坐標(biāo)x和金屬板間電勢(shì)差U的函數(shù)關(guān)系．

解答：解：（1）根據(jù)動(dòng)能定理，得：eU0=

1

2

m

v

2 0

解得：v0=

2eU0 m

（2）欲使電子不能穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域而打在熒光屏上，應(yīng)有r＜d
而：eU=

1

2

mv2，eBV=m

v2

r

由此即可解得：U＜

d2eB2

2m

（3）若電子在磁場(chǎng)區(qū)域做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域打在熒光屏上的位置坐標(biāo)為x，
則由軌跡圖可得：x=2r-2

r2-d2

，
注意到：r=

mv

eB

和：eU=

1

2

mv2
所以，電子打到熒光屏上的位置坐標(biāo)x和金屬板間電勢(shì)差U的函數(shù)關(guān)系為：x=

2

eB

(

2emU

-

2emU-d2e2B2

)(U≥

d2eB2

2m

)
答：（1）當(dāng)兩板間電勢(shì)差為U₀時(shí)，求從小孔S₂射出的電子的速度v₀為

2eU0 m

；
（2）兩金屬板間電勢(shì)差U在U＜

d2eB2

2m

范圍內(nèi)，電子不能穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域而打到熒光屏上；
（3）電子打到熒光屏上的位置坐標(biāo)x和金屬板間電勢(shì)差U的函數(shù)關(guān)系為x=

2

eB

(

2emU

-

2emU-d2e2B2

)(U≥

d2eB2

2m

)．

點(diǎn)評(píng)：題中隱含條件是：粒子能打到熒光屏離O點(diǎn)最遠(yuǎn)的即為圓弧軌道半徑與磁場(chǎng)寬度相等時(shí)的粒子．