Question

2．目前霧霾天氣仍然困擾人們，為了解決此難題很多環(huán)保組織和環(huán)保愛(ài)好者不斷研究．某個(gè)環(huán)保組織研究發(fā)現(xiàn)通過(guò)降雨能有效解決霧霾天氣．當(dāng)雨滴在空中下落時(shí)，不斷與漂浮在空氣中的霧霾顆粒相遇并結(jié)合為一體，其質(zhì)量不斷增大，直至落地．現(xiàn)將上述過(guò)程簡(jiǎn)化為沿豎直方向的一系列碰撞．已知雨滴的初始質(zhì)量為m，初速度為v₀，每個(gè)霧霾顆粒質(zhì)量均為m₀，假設(shè)霧霾顆粒均勻分布，且雨滴每下落距離h后才與靜止的霧霾顆粒碰撞并立即結(jié)合在一起．試求：
（1）若不計(jì)重力和空氣阻力，求第n次碰撞后雨滴的速度大�。�
（2）若不計(jì)空氣阻力，但考慮重力，求第1次碰撞后雨滴的速度大小．
（3）若初始時(shí)雨滴受到的空氣阻力是f，假設(shè)空氣阻力只與結(jié)合體的質(zhì)量有關(guān)．以后每碰撞一次結(jié)合體受到的空氣阻力都變?yōu)榕銮暗?倍，當(dāng)?shù)趎次碰后結(jié)合體的機(jī)械能為E，求此過(guò)程因碰撞損失的機(jī)械能△E．

Answer 1

分析 （1）不計(jì)重力和空氣阻力時(shí)，全過(guò)程碰撞過(guò)程中均可認(rèn)為動(dòng)量守恒，則對(duì)全程分析，根據(jù)動(dòng)量守恒定律可求得第n次碰撞后雨滴的速度大小；
（2）如果考慮重力，則碰撞前雨滴做勻加速運(yùn)動(dòng)，由速度和位移公式可求得碰前的速度，再根據(jù)碰撞過(guò)程的動(dòng)量守恒即可求得碰后速度；
（3）對(duì)全過(guò)程利用功能關(guān)系進(jìn)行列式，同時(shí)根據(jù)阻力的變化規(guī)律得出空氣阻力做功的表達(dá)式，聯(lián)立即可求得損失的機(jī)械能．

解答 解：（1）不計(jì)重力和空氣阻力，設(shè)向下為正方向，全過(guò)程中動(dòng)量守恒
mv₀=（m+nm₀）v_n     
得 V_n=$\frac{m{v}_{0}}{m+n{m}_{0}}$    
（2）若只受到重力，雨滴下降過(guò)程中做加速度為g的勻加速運(yùn)動(dòng)，
第1次碰撞前v₁²=v₀²+2gh
碰撞瞬間動(dòng)量守恒 則有 
mv₁=（m+m₀）v₁′
解得v₁′=$\frac{m}{m+{m}_{0}}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$
（3）由功能原理及能量守恒得：
mgnh+$\frac{1}{2}$mv₀²+m₀g{（n-1）h+（n-2）h+（n-3）h+…[n-（n-1）h]}=E+△E+W_f
又W_f=fh+2fh+4fh+…2^n-1fh
兩式聯(lián)立解得△E=nmgh+$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{n（n-1）}{2}$m₀gh-E-（2^n-1）fh     
答：（1）若不計(jì)重力和空氣阻力，第n次碰撞后雨滴的速度大小為$\frac{m{v}_{0}}{m+n{m}_{0}}$   
（2）若不計(jì)空氣阻力，但考慮重力，求第1次碰撞后雨滴的速度大小為$\frac{m}{m+{m}_{0}}$$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$
（3）此過(guò)程因碰撞損失的機(jī)械能△E為nmgh+$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{n（n-1）}{2}$m₀gh-E-（2^n-1）fh．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)量守恒定律以及功能關(guān)系的應(yīng)用，解題的難點(diǎn)在于正確找出對(duì)應(yīng)的表達(dá)通式，再利用功能關(guān)系進(jìn)行列式求解，所以本題對(duì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)分析物理問(wèn)題的能力要求較高．