Question

如圖所示，直角坐標(biāo)系xoy所決定的平面內(nèi)，在平行于x軸的虛線MN上方、x＜0的區(qū)域存在著沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)；在x＞0的某區(qū)域存在方向垂直于坐標(biāo)平面的圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)（圖中未畫出）．現(xiàn)有一比荷k=

q

m

=10²C/kg的帶正電粒子從虛線MN上的P處，以大小υ₀=20m/s、方向平行于y軸的初速度射入電場(chǎng)，并恰好從原點(diǎn)O處射出，射出時(shí)的速度大小υ=40m/s，此后粒子先做勻速運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入圓形有界磁場(chǎng)，粒子從磁場(chǎng)中射出時(shí)，出射點(diǎn)為Q且射出時(shí)的速度方向沿y軸負(fù)方向．已知磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.2T，不計(jì)粒子的重力，忽略粒子運(yùn)動(dòng)對(duì)電場(chǎng)、磁場(chǎng)的影響．求：
（1）粒子從O點(diǎn)射出時(shí)速度υ與y軸間的夾角θ．
（2）P、O兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U．
（3）Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)x．
（4）圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積S．

Answer 1

（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中y軸方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，x軸方向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，將O點(diǎn)的速度分解，有：
cosθ=

v0

v

=

1

2

．
解得θ=60°．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得，qU=

1

2

mv2-

1

2

mv02
因?yàn)楸群蒶=

q

m

=10²C/kg
代入數(shù)據(jù)解得：U=6V．
（3）根據(jù)qvB=m

v2

R

帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的軌道半徑：R=

mv

qB

=

40

1.2

×

1

100

=

1

3

m．
根據(jù)幾何關(guān)系得：x=R+

R

sin30°

=3R=1m．
（4）以粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡的初末兩點(diǎn)連線為圓的直徑，該圓的面積為勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積．
該圓的半徑r=Rsin60°=

3

2

×

1

3

=

3

6

m
則S=πr2=

π

12

m2．
答：（1）粒子從O點(diǎn)射出時(shí)速度υ與y軸間的夾角θ為60°．
（2）P、O兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U為6V．
（3）Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=1m．
（4）圓形有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)的最小面積為

π

12

m2．