Question

14．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）地球的第一宇宙速度v₁；
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運(yùn)行周期T．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼近地球表面做圓周運(yùn)動的速度，其軌道半徑近似等于地球的半徑，根據(jù)重力提供向心力求出第一宇宙速度的大小．
（2）根據(jù)萬有引力等于向心力，從而求出衛(wèi)星的運(yùn)行周期．

解答 解：（1）衛(wèi)星繞地球表面附近做勻速圓周運(yùn)動時受到的萬有引力近似等于重力，設(shè)飛船的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，則有：
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ 解得：v₁=$\sqrt{gR}$
（2）設(shè)衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動的周期為T，
由萬有引力定律和向心力得：
  G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m（R+h）$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
解衛(wèi)星的運(yùn)行周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}_{2}}}$；
答：（1）地球的第一宇宙速度$\sqrt{gR}$；
（2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行軌道距離地面高度為h，衛(wèi)星的運(yùn)行周期$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{g{R}_{2}}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道不考慮地球自轉(zhuǎn)時，萬有引力等于重力．知道第一宇宙速度等于衛(wèi)星貼著地球表面做勻速圓周運(yùn)動的速度．