Question

14．如圖所示，半徑為R的光滑半圓形軌道豎直放置，A點(diǎn)為軌道的最低點(diǎn)，恰與一斜面底端在A點(diǎn)接觸，斜面底邊水平，傾角為θ，一個(gè)可看成質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的小球，在A點(diǎn)獲得一初速度，沖上半圓軌遁且恰好經(jīng)過半圓軌道的最高點(diǎn)B點(diǎn)，然后做平拋運(yùn)動(dòng)垂直打在斜面上的C點(diǎn)，求：
（1）小球在A點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力大�。�
（2）BC兩點(diǎn)之間的水平距離x和高度差h．

Answer 1

分析 （1）抓住小球恰好通過最高點(diǎn)，結(jié)合牛頓第二定律求出B點(diǎn)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出A點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出A點(diǎn)的支持力大小，從而得出小球在A點(diǎn)對(duì)圓弧軌道的壓力大�。�
（2）抓住小球垂直打在斜面上，結(jié)合平行四邊形定則求出落在斜面上的豎直分速度，根據(jù)速度時(shí)間公式求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求出平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移，根據(jù)速度位移公式求出下降的高度．

解答 解：（1）小球恰好通過最高點(diǎn)B，根據(jù)mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$得，${v}_{B}=\sqrt{gR}$，
根據(jù)動(dòng)能定理得，$-mg•2R=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$，
在A點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有：${N}_{A}-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
聯(lián)立解得N_A=6mg，
根據(jù)牛頓第三定律知，小球在A點(diǎn)對(duì)圓弧軌道的壓力為6mg；
（2）小球平拋運(yùn)動(dòng)后垂直打在斜面上，根據(jù)平行四邊形定則有：tanθ=$\frac{{v}_{B}}{{v}_{y}}$，
解得落在斜面上的豎直分速度${v}_{y}=\frac{\sqrt{gR}}{tanθ}$，
則BC間的水平距離x=${v}_{B}t={v}_{B}\frac{{v}_{y}}{g}$=$\sqrt{gR}×\frac{\sqrt{gR}}{gtanθ}=\frac{R}{tanθ}$，
高度差h=$\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=\frac{R}{2ta{n}^{2}θ}$．
答：（1）小球在A點(diǎn)時(shí)對(duì)圓弧軌道的壓力大小為6mg；
（2）BC兩點(diǎn)之間的水平距離x為$\frac{R}{tanθ}$，高度差h為$\frac{R}{2ta{n}^{2}θ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．