Question

10．一宇航員在地球表面以一定初速度豎直向上拋出一小球，經(jīng)過時間t落回原處；若他在某星球表面以同樣的初速度豎直向上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球才落回原處．不計空氣阻力，已知該星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的$\frac{1}{80}$，則（　　）

• A． 星球與地球表面處重力加速度之比5：1
• B． 星球與地球半徑之比1：16
• C． 星球與地球密度之比 3：5
• D． 星球與地球第一宇宙速度之比$\sqrt{5}$：10

Answer 1

分析 根據(jù)豎直上拋的規(guī)律求重力加速度之比．由重力等于萬有引力列式，求半徑之比，再進一步得到密度之比．由重力等于向心力求第一宇宙速度之比．

解答 解：A、設(shè)地球表面和星體表面附近的重力加速度分別為gt和g′，根據(jù)豎直上拋運動的規(guī)律，有
在地面上：v₀=g•$\frac{1}{2}$t
在未知星體表面附近：v₀=g′•$\frac{5t}{2}$，解得 g′：g=1：5．故A錯誤．
BC、不考慮自轉(zhuǎn)影響，可認為放在不同星球表面附近物體m的重力等于星球?qū)λ�的萬有引力，即：
在地面附近有：mg=G$\frac{{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}$
在星球表面附近有：mg′=G$\frac{{M}_{星}m}{{R}_{星}^{2}}$
已知$\frac{{M}_{星}}{{M}_{地}}$=$\frac{1}{80}$，聯(lián)立解得星球與地球半徑之比 $\frac{{R}_{星}}{{R}_{地}}$=$\frac{1}{4}$．
任一星體的密度為 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{\frac{g{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3g}{4πGR}$，則得星球與地球密度之比 $\frac{{ρ}_{星}}{{ρ}_{地}}$=$\frac{4}{5}$．故BC錯誤．
D、對于任一星體，有 mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，得第一宇宙速度為 v₁=$\sqrt{gR}$
則得星球與地球第一宇宙速度之比 $\frac{{v}_{星}}{{v}_{地}}$=$\frac{\sqrt{5}}{10}$，故D正確．
故選：D

點評 本題是萬有引力定律與常見運動的綜合，它們聯(lián)系的橋梁是重力加速度，解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力．