Question

函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

解：（ I）∵函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）…（2分）
故，
所以b=0，…（4分）
所以 ．…（5分）
（ II） 設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，…（6分）
則△y=f（x₂）-f（x₁）==…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴△x=x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0…（10分）
∴而 ，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．…（12分）
分析：（I）已知函數(shù)是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x），求出b的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（II）可以 設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，根據(jù)定義法判斷f（x₂）-f（x₁）與0的大小關(guān)系，從而進行證明；
點評：此題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，利用定義法求證函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是會化簡，此題是一道基礎(chǔ)題；