Question

16．一質(zhì)量為m₂的長木板靜止在光滑水平桌面上．一質(zhì)量為m₁的小滑塊以水平速度v₀從長木板的一端開始在木板上滑動，直到離開木板，滑塊剛離開木板時的速度為$\frac{{v}_{0}}{3}$．已知小滑塊與木板之間的動摩擦因數(shù)為μ，求：
（1）小滑塊剛離開木板時木板的速度為多少？
（2）小滑塊剛離開木板時，木板在桌面上運動的位移？

Answer 1

分析 木板在光滑桌面上滑動時滑塊和木板利用牛頓第二定律和運動學公式及動能定理列式；
由動能定理對木板和滑塊分別研究列出等式，再研究當板固定時運用動能定理求解滑塊離開木板時的速度；應(yīng)用動量守恒和運動學公式求位移．

解答 解：（1）設(shè)木板長為L，木板在光滑水平桌面上時小滑塊經(jīng)時間t 離開木板，該過程滑塊和木板相對大地的位移分別為x₁和x₂，滑塊運動加速度大小為a₁，木板運動加速度大小為a₂，滑塊與木板之間的滑動摩擦力大小為 f，滑塊離開木板時木板速度為v，于是有 x₁-x₂=L
對滑塊，f=m₁a₁，
$\frac{1}{3}$v₀=v₀-a₁t，
$\frac{1}{2}$m₁（$\frac{1}{3}$v₀）²-$\frac{1}{2}$m₁v₀²=-fx₁；
對木板，f=m₂a₂，
v=a₂t，
$\frac{1}{2}$m₂v²=fx₂；
綜合以上各式得：$\frac{1}{2}$m₁（$\frac{1}{3}$v₀）²-$\frac{1}{2}$m₁v₀²+$\frac{1}{2}$m₂（$\frac{2{m}_{1}{V}_{0}}{3{m}_{2}}$）²=-fL
木板固定在水平桌面上，設(shè)滑塊剛離開木板時滑塊的速度為v′，則$\frac{1}{2}$m₁v′²-$\frac{1}{2}$m₁v₀²=-fL
聯(lián)立解得 v′=$\frac{{V}_{0}}{3}\sqrt{\frac{4{m}_{1}}{{m}_{2}}+1}$
（2）以滑塊和木板為對象，動量守恒：m₁V₀=m₁V′+m₂V
對木板：${V}^{2}=2\frac{μ{m}_{1}g}{{m}_{2}}$x₂
聯(lián)立得：x₂=$\frac{{m}_{1}{V}_{0}^{2}（1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4{m}_{1}}{{m}_{2}}+1}）^{2}}{2μ{m}_{2}g}$
答：（1）滑塊剛離開木板時滑塊的速度$\frac{{V}_{0}}{3}\sqrt{\frac{4{m}_{1}}{{m}_{2}}+1}$
（2）小滑塊剛離開木板時，木板在桌面上運動的位移$\frac{{m}_{1}{V}_{0}^{2}（1-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{4{m}_{1}}{{m}_{2}}+1}）^{2}}{2μ{m}_{2}g}$

點評 當遇到相互作用的問題時，要想到應(yīng)用牛頓第二定律和運動學公式；
一個題目可能選擇不同的研究對象運用動能定理求解，要注意求解功時的位移是物體相對于地面的位移