Question

一根長L=80cm的繩子系著一個(gè)小球，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，已知球的質(zhì)量為m=0.5kg，g取10m/s²，求：
（1）試確定到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)向心力的最小值
（2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度為3m/s，繩對小球的拉力
（3）試證明：在能夠完成豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的情況下，無論小球的初速度怎樣，在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)繩子上的張力差總為30N．（不計(jì)空氣阻力）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)重力恰好提供向心力時(shí)，向心力最�。�
（2）根據(jù)拉力和重力的合力提供向心力列式求解．
（3）設(shè)最高點(diǎn)速度為v₁，根據(jù)動(dòng)能定理求解最低點(diǎn)速度v₂，然后根據(jù)重力和拉力的合力提供向心力列式后聯(lián)立求解．

解答：解：（1）小球在最高點(diǎn)受重力和拉力，合力提供向心力，當(dāng)拉力為零時(shí)，向心力最小，為mg=5N；
（2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度為3m/s時(shí)，拉力和重力的合力提供向心力，有：
F+mg=m

v2

R

解得：F═m

v2

R

-mg=0.625N；
（3）設(shè)最高點(diǎn)速度為v₁，最低點(diǎn)速度v₂，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
mg?2R=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m

v

2 1

；
最高點(diǎn)，有：mg+T₁=m

v 2 1

R

；
最低點(diǎn)，有：T₂-mg=m

v 2 2

R

；
拉力差為：△T=T₁-T₂；
聯(lián)立解得：△T=6mg=30N；
答：（1）到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)向心力的最小值為5N；
（2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度為3m/s，繩對小球的拉力為0.625N；
（3）證明如上．

點(diǎn)評：對于豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，只考慮最高點(diǎn)和最低點(diǎn)情況；
本題關(guān)鍵明確向心力來源，根據(jù)牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律后分析討論，不難．