Question

12．如圖所示，固定在豎直平面內(nèi)的軌道ABCD由兩部分組成，AB段傾角為θ=37°，由光滑金屬直桿做成，BCD段由粗糙金屬桿做成的兩段半徑R=0.4m的四分之一圓弧，AB部分與BCD部分平滑相接．兩段圓弧軌道的圓心等高，圓弧末端D點(diǎn)切線水平．可視作質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m=0.1kg的金屬球中間有小孔，將其穿在軌道上并從距離最低點(diǎn)L處由靜止釋放，金屬球沿軌道滑動(dòng)，并從D點(diǎn)離開軌道做平拋運(yùn)動(dòng)，最后落在地板上．已知地板與軌道最低點(diǎn)在同一水平面上，圖中E點(diǎn)為D點(diǎn)在地板上的豎直投影，重力加速度取g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8．
（1）當(dāng)L=$\frac{29}{6}$m時(shí)，金屬球落在與E點(diǎn)相距d=2m的M點(diǎn)，求經(jīng)過(guò)圓弧軌道時(shí)摩擦力做的功．
（2）如果M、N之間有一寬度為△d=0.4m的深槽，當(dāng)釋放位置距離B電為L(zhǎng)'=$\frac{69}{12}$m時(shí)，判斷金屬球是否落在槽內(nèi)？

Answer 1

分析 （1）由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到金屬球在D的速度，然后對(duì)從A到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得摩擦力做的功；
（2）根據(jù)摩擦力做功情況，得到金屬球在D的速度范圍，然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得水平位移，即可判斷是否落在槽內(nèi)．

解答 解：（1）金屬球從D到M做平拋運(yùn)動(dòng)，故有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，d=v_Dt
解得：${v}_{D}=\fracyyikgyg{t}=\fracoqe6uyg{\sqrt{\frac{4R}{g}}}=5m/s$；
金屬球從A到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程只有重力和圓弧軌道上的摩擦力做功，故由動(dòng)能定理可得：經(jīng)過(guò)圓弧軌道時(shí)摩擦力做的功為：
${W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-mg（Lsinθ-2R）=-0.85J$；
（2）當(dāng)釋放位置距離B電為L(zhǎng)'=$\frac{69}{12}$m時(shí)，因?yàn)長(zhǎng)′＞L，所以，金屬球在D點(diǎn)的速度變大，落點(diǎn)在M的右側(cè)；
又有從L′釋放時(shí)，在同一位移速度更大，那么金屬球?qū)�軌道的壓力更大，所以，摩擦力更大，故克服摩擦力做功為�?W_f′＞-W_f；
由動(dòng)能定理可得：$mg（L′sinθ-2R）+{W}_{f}'=\frac{1}{2}m{v}_{D}{′}^{2}$；
所以，金屬球在D點(diǎn)的速度為：v_D′＜6m/s；
所以，金屬球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為：$x={v}_{D}′t={v}_{D}′\sqrt{\frac{4R}{g}}＜2.4m$=d+△d，所以，金屬球落在槽內(nèi)；
答（1）當(dāng)L=$\frac{29}{6}$m時(shí)，金屬球落在與E點(diǎn)相距d=2m的M點(diǎn)，那么經(jīng)過(guò)圓弧軌道時(shí)摩擦力做的功為-0.85J．
（2）如果M、N之間有一寬度為△d=0.4m的深槽，當(dāng)釋放位置距離B電為L(zhǎng)'=$\frac{69}{12}$m時(shí)，金屬球落在槽內(nèi)．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．