Question

11．某同學(xué)的航模飛機(jī)，操控遙控器是飛機(jī)起飛時(shí)，飛機(jī)受到空氣豎直向上的恒定推動力，大小是重力的$\frac{4}{3}$倍，一次試飛時(shí)，讓飛機(jī)由靜止從地面豎直上升．3秒末關(guān)閉發(fā)動機(jī)．忽略空氣阻力．
（1）此飛機(jī)最高可上升到距地面多高處？
（2）關(guān)閉發(fā)動機(jī)多長時(shí)間后重新啟動，才能使飛機(jī)恰好安全落地？

Answer 1

分析 （1）發(fā)動機(jī)的做功時(shí)間是3s，由牛頓第二定律求出加速度，然后求出發(fā)動機(jī)做功時(shí)飛機(jī)上升的高度，然后由機(jī)械能守恒求出另一段高度即可；
（2）飛機(jī)恰好安全落地，則落地時(shí)的速度恰好是0，然后由牛頓第二定律與運(yùn)動學(xué)的公式即可求出關(guān)閉發(fā)動機(jī)多長時(shí)間后重新啟動，能使飛機(jī)恰好安全落地．

解答 解：（1）飛機(jī)受到推力與重力，由牛頓第二定律得：$ma=F-mg=\frac{4}{3}mg-mg=\frac{1}{3}mg$
所以：$a=\frac{1}{3}g$
前3s飛機(jī)上升的高度：${h}_{1}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×10×{3}^{2}=15$m
3s末的速度：$v=at=\frac{1}{3}gt=\frac{1}{3}×10×3=10$m/s
關(guān)閉發(fā)動機(jī)后機(jī)械能守恒，得：$\frac{1}{2}m{v}^{2}=mg{h}_{2}$
得：${h}_{2}=\frac{{v}^{2}}{2g}=\frac{1{0}^{2}}{2×10}m=5$m
飛機(jī)上升的總高度：H=h₁+h₂=15m+5m=20m
（2）關(guān)閉發(fā)動機(jī)后飛機(jī)做豎直上拋運(yùn)動，設(shè)關(guān)閉發(fā)動機(jī)t₁多長時(shí)間后重新啟動，飛機(jī)恰好安全落地時(shí)速度為0，重啟發(fā)動機(jī)后的加速度與開始時(shí)的加速度相同，所以飛機(jī)下降的過程與上升的過程是完全對稱的．
關(guān)閉發(fā)動機(jī)后飛機(jī)上升的時(shí)間：$t′=\frac{v}{g}=\frac{10}{10}s=1$s
由對稱性可得，飛機(jī)開始下降后1s必須重啟發(fā)動機(jī)，所以：t₁=2t′=2s
答：（1）此飛機(jī)最高可上升到距地面20m高處；
（2）關(guān)閉發(fā)動機(jī)2s時(shí)間后重新啟動，才能使飛機(jī)恰好安全落地．

點(diǎn)評 該題考查牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用，注意到重啟發(fā)動機(jī)后的加速度與開始上升時(shí)的加速度相等，飛機(jī)向上運(yùn)動的過程與向下的運(yùn)動過程是對稱的，由運(yùn)動的對稱性解答是解題的捷徑．