Question

(16分)如圖所示，ABDO是處于豎直平面內(nèi)的光滑軌道，AB是半徑R＝15m的四分之一圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央，一個小球P從A點(diǎn)的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內(nèi)的軌道通過D點(diǎn)時對軌道的壓力等于其重力的倍，試求：

⑴高度H的大小；
⑵討論此球能否到達(dá)BDO軌道的O點(diǎn)，并說明理由；
⑶小球沿軌道運(yùn)動后再次落到軌道上的速度的大小和方向。

Answer 1

⑴H＝10m；⑵能到達(dá)O點(diǎn)；⑶v＝17.3m/s，方向與水平方向成夾角θ＝arctan

解析試題分析：⑴設(shè)小球通過D點(diǎn)時的速度為v_D，此時軌道對小球的彈力提供了小球做圓周運(yùn)動的向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：＝        ①
小球從P點(diǎn)運(yùn)動至D點(diǎn)的過程中，根據(jù)動能定理有：mg(H＋)＝－0         ②
由①②式聯(lián)立解得：H＝＝10m           ③
⑵設(shè)小球能沿圓軌道運(yùn)動至O點(diǎn)，速度為v₀，根據(jù)動能定理有：mgH＝－0          ④
由③④式聯(lián)立解得：v₀＝＝m/s            ⑤
假設(shè)小球恰好通過圓軌道最高點(diǎn)O的速度為v_C，根據(jù)牛頓第二定律有：mg＝   
解得：v_C＝＝m/s＜m/s，所以，小球能夠到達(dá)BDO軌道的O點(diǎn)
⑶小球通過O點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，設(shè)經(jīng)過時間t落到AB圓弧軌道上，根據(jù)平拋運(yùn)動規(guī)律可知，小球在水平方向通過的位移為：x＝v₀t         ⑥
在豎直方向通過的位移為：y＝          ⑦
顯然x、y滿足圓軌跡方程：x²＋y²＝R²            ⑧
由⑤⑥⑦⑧式聯(lián)立，并代入數(shù)據(jù)解得：t＝1s 
所以小球再次落到軌道上的速度大小為：v＝＝m/s＝17.3m/s
方向與水平方向間的夾角為：θ＝arctan＝arctan
考點(diǎn)：本題主要考查了平拋運(yùn)動規(guī)律、圓周運(yùn)動向心力、牛頓第二定律、動能定理(或機(jī)械能守恒定律)的應(yīng)用問題，屬于中檔偏高題。